1.3.2 全集与补集
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课件35张PPT。第一章 §3 集合的基本运算3.2 全集与补集1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.
2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集.
(2)记法：全集通常记作 .答案U思考 全集一定是实数集R吗？
答 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.答案知识点二 补集答案不属于集合A?UA{x|x∈U，且x?A}思考 设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.
答 ?MA＝{0,3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA.
由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.答案知识点三 补集的性质
(1)A∪(?UA)＝U；
(2)A∩(?UA)＝?；
(3)?UU＝ ，?U?＝U，?U(?UA)＝ ；
(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；
(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B).答案?A返回 题型探究 重点突破题型一 简单的补集运算
例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5} D.?解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}.解析答案B(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?U A＝________.解析 由补集的定义，结合数轴可得?U A＝{x|x＜1}.解析答案反思与感悟{x|x＜1}1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?U A)＝U.跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?U A＝___________________.解析答案解析 借助数轴得?U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.{x|x＝－3，或x＞4}题型二 补集的应用
例2 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值.解析答案解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A U，
故a＝－4舍去.
综上知a＝2.反思与感悟1.由?UA＝{5}可知5∈U且5?A，A?U.
2.由?UA＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A?U，否则会把a＝
－4误认为是本题的答案.
3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.跟踪训练2 若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，?UA＝{7}，则实数a＝________.解析答案解析 因为?UA＝{7}，所以7∈U且7?A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.
当a＝3时，A＝{4,7}与7?A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.－2解析答案题型三 并集、交集、补集的综合运算
例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤
x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).反思与感悟解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，反思与感悟则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
方法一 (?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}.
方法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解析答案解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.
∵?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.题型四 利用Venn图解题
例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩?UB＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,11}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.解析答案解 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
A∩(?UB)＝{3,5}，
∴3∈A,5∈A，且3?B,5?B，
又(?UA)∩B＝{7,11}，
∴7∈B,11∈B且7?A,11?A.
∵(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，
∴?U(A∪B)＝{2,17}.
∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.反思与感悟解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.跟踪训练4 全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.解析答案解 方法一 根据题意作出Venn图如图所示.由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}.
方法二 ∵(?UB)∩A＝{1,9}，
(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，
∴(?UB)＝{1,4,6,7,9}.
又∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}.
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.解析答案补集思想的应用解题思想方法例5 已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.反思与感悟对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.跟踪训练5 已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求a的取值范围.解析答案返回解 因为A∩B≠?，所以A≠?，
即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，
所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，
即(a＋1)(2a－3)≥0，又B＝{x|x<0}，
所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根.
若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根，解析答案由①②取公共部分得a≤－1.
即当A∩B≠?时，a的取值范围为{a|a≤－1}.返回 当堂检测123451.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,4}，则集合?UM等于( )
A.{1,2,4} B.{3,4,5}
C.{2,5} D.{3,5}答案D123452.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则?UA等于( )
A.{x|x<0或x>4} B.{x|x≤0或x>4}
C.{x|x≤0或x≥4} D.{x|x<0或x≥4}解析 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以?UA＝{x|x<0或x≥4}.D解析答案123453.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)等于( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}解析 由题意知，?UB＝{2,5,8}，
则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.A解析答案123454.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )解析答案解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝
{－1,0,1,2}，所以(?UA)∩B＝{－1,2}.AA.{－1,2} B.{－1,0}
C.{0,1} D.{1,2}123455.已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a的值.解析答案解 ∵?UP＝{－1}，∴－1∈U，且－1?P,0∈P.经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.课堂小结1.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一.
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.返回
2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集.
(2)记法：全集通常记作 .答案U思考 全集一定是实数集R吗？
答 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.答案知识点二 补集答案不属于集合A?UA{x|x∈U，且x?A}思考 设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.
答 ?MA＝{0,3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA.
由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.答案知识点三 补集的性质
(1)A∪(?UA)＝U；
(2)A∩(?UA)＝?；
(3)?UU＝ ，?U?＝U，?U(?UA)＝ ；
(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；
(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B).答案?A返回 题型探究 重点突破题型一 简单的补集运算
例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A等于( )
A.{1,2} B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5} D.?解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴?UA＝{3,4,5}.解析答案B(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?U A＝________.解析 由补集的定义，结合数轴可得?U A＝{x|x＜1}.解析答案反思与感悟{x|x＜1}1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
2.解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?U A)＝U.跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?U A＝___________________.解析答案解析 借助数轴得?U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.{x|x＝－3，或x＞4}题型二 补集的应用
例2 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值.解析答案解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A U，
故a＝－4舍去.
综上知a＝2.反思与感悟1.由?UA＝{5}可知5∈U且5?A，A?U.
2.由?UA＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A?U，否则会把a＝
－4误认为是本题的答案.
3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.跟踪训练2 若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，?UA＝{7}，则实数a＝________.解析答案解析 因为?UA＝{7}，所以7∈U且7?A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.
当a＝3时，A＝{4,7}与7?A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.－2解析答案题型三 并集、交集、补集的综合运算
例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤
x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).反思与感悟解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，反思与感悟则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
方法一 (?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}.
方法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解析答案解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.
∵?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.题型四 利用Venn图解题
例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩?UB＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,11}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.解析答案解 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
A∩(?UB)＝{3,5}，
∴3∈A,5∈A，且3?B,5?B，
又(?UA)∩B＝{7,11}，
∴7∈B,11∈B且7?A,11?A.
∵(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，
∴?U(A∪B)＝{2,17}.
∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.反思与感悟解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.跟踪训练4 全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.解析答案解 方法一 根据题意作出Venn图如图所示.由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}.
方法二 ∵(?UB)∩A＝{1,9}，
(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，
∴(?UB)＝{1,4,6,7,9}.
又∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}.
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.解析答案补集思想的应用解题思想方法例5 已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.反思与感悟对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.跟踪训练5 已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求a的取值范围.解析答案返回解 因为A∩B≠?，所以A≠?，
即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，
所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，
即(a＋1)(2a－3)≥0，又B＝{x|x<0}，
所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根.
若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根，解析答案由①②取公共部分得a≤－1.
即当A∩B≠?时，a的取值范围为{a|a≤－1}.返回 当堂检测123451.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,4}，则集合?UM等于( )
A.{1,2,4} B.{3,4,5}
C.{2,5} D.{3,5}答案D123452.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则?UA等于( )
A.{x|x<0或x>4} B.{x|x≤0或x>4}
C.{x|x≤0或x≥4} D.{x|x<0或x≥4}解析 因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以?UA＝{x|x<0或x≥4}.D解析答案123453.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)等于( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}解析 由题意知，?UB＝{2,5,8}，
则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.A解析答案123454.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )解析答案解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝
{－1,0,1,2}，所以(?UA)∩B＝{－1,2}.AA.{－1,2} B.{－1,0}
C.{0,1} D.{1,2}123455.已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a的值.解析答案解 ∵?UP＝{－1}，∴－1∈U，且－1?P,0∈P.经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.课堂小结1.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一.
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.返回