2.2.2 函数的表示法
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课件43张PPT。第二章 §1 生活中的变量关系~§2 对函数的进一步认识2.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法.
2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 函数的三种表示方法答案数学表达式图像表格思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？答 三种表示方法的优、缺点比较：答案(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？答案知识点二 分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为 .分段函数答案返回 题型探究 重点突破题型一 作函数的图像
例1 作出下列函数的图像：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；解析答案解 这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解析答案解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.反思与感悟1.作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像.
2.函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.跟踪训练1 画出下列函数的图像：
(1)y＝x＋1(x≤0)；解析答案解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1).(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解析答案解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1
≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二 列表法表示函数
例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出解析答案则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.反思与感悟解析 ∵g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.反思与感悟∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.答案 1 2解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.解析答案跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f(g(1))＝_____；解析 由表知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1；1解析答案(2)若g(f(x))＝2，则x＝______.解析 由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.1解析答案题型三 待定系数法求函数解析式
例3 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；解 ∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又∵f(f(x))＝4x－1，
∴a2x＋ab＋b＝4x－1，解析答案(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x).解 ∵f(x)是二次函数，
∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左边展开整理得2ax＋a＋b＝2x，∴f(x)＝x2－x＋1.反思与感悟跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.解析答案解析答案解析答案＝(t－1)2＋1＋t－1＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞).∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).∴f(x)＝x2－x＋1.则x＝(t－1)2，∴f(x)＝x2－1(x≥1).解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练4 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝__________.解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二 (配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.x2－4x＋3解析答案解析答案(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2＞－2，不合题意，舍去.
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意.
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.反思与感悟1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.解析答案解析 因为－2<0，所以f(－2)＝－(－2)＝2，
所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.C解析答案解析答案忽略函数的定义域致误易错点所以f(t)＝2(t＋1)2＋t＋1＝2t2＋5t＋3，
所以f(x)＝2x2＋5x＋3.所以f(t)＝2(t＋1)2＋t＋1＝2t2＋5t＋3，
所以f(x)＝2x2＋5x＋3(x≥－1).易错警示解析答案所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x2－2x(x≠1).返回 当堂检测123451.已知f(x＋2)＝6x＋5，则f(x)等于( )
A.18x＋17 B.6x＋5
C.6x－7 D.6x－5解析答案解析 设x＋2＝t，得x＝t－2，
∴f(t)＝6(t－2)＋5＝6t－7，∴f(x)＝6x－7，故选C.C12345解析答案C12345解析答案3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.1123454.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析式为_____________.解析答案解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.f(x)＝2x＋712345答案5.如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的
解析式为_________________________.课堂小结1.函数三种表示法的优缺点2.理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像.
3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.返回
2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 函数的三种表示方法答案数学表达式图像表格思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？答 三种表示方法的优、缺点比较：答案(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？答案知识点二 分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为 .分段函数答案返回 题型探究 重点突破题型一 作函数的图像
例1 作出下列函数的图像：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；解析答案解 这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解析答案解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.反思与感悟1.作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像.
2.函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.跟踪训练1 画出下列函数的图像：
(1)y＝x＋1(x≤0)；解析答案解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1).(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解析答案解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1
≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二 列表法表示函数
例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出解析答案则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.反思与感悟解析 ∵g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.反思与感悟∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.答案 1 2解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.解析答案跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f(g(1))＝_____；解析 由表知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1；1解析答案(2)若g(f(x))＝2，则x＝______.解析 由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.1解析答案题型三 待定系数法求函数解析式
例3 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；解 ∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又∵f(f(x))＝4x－1，
∴a2x＋ab＋b＝4x－1，解析答案(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x).解 ∵f(x)是二次函数，
∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左边展开整理得2ax＋a＋b＝2x，∴f(x)＝x2－x＋1.反思与感悟跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.解析答案解析答案解析答案＝(t－1)2＋1＋t－1＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞).∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).∴f(x)＝x2－x＋1.则x＝(t－1)2，∴f(x)＝x2－1(x≥1).解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练4 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝__________.解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二 (配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.x2－4x＋3解析答案解析答案(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2＞－2，不合题意，舍去.
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意.
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.反思与感悟1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.解析答案解析 因为－2<0，所以f(－2)＝－(－2)＝2，
所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.C解析答案解析答案忽略函数的定义域致误易错点所以f(t)＝2(t＋1)2＋t＋1＝2t2＋5t＋3，
所以f(x)＝2x2＋5x＋3.所以f(t)＝2(t＋1)2＋t＋1＝2t2＋5t＋3，
所以f(x)＝2x2＋5x＋3(x≥－1).易错警示解析答案所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x2－2x(x≠1).返回 当堂检测123451.已知f(x＋2)＝6x＋5，则f(x)等于( )
A.18x＋17 B.6x＋5
C.6x－7 D.6x－5解析答案解析 设x＋2＝t，得x＝t－2，
∴f(t)＝6(t－2)＋5＝6t－7，∴f(x)＝6x－7，故选C.C12345解析答案C12345解析答案3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.1123454.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析式为_____________.解析答案解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.f(x)＝2x＋712345答案5.如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的
解析式为_________________________.课堂小结1.函数三种表示法的优缺点2.理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像.
3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.返回