2.4 二次函数性质的再研究
图片预览
文档简介
课件36张PPT。§4 二次函数性质的再研究第二章 函 数1.理解y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系.
2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴.
3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质.
4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 二次函数的定义
1.形如y＝ (a≠0)的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式；
顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
2.说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式.答案ax2＋bx＋c答案知识点二 二次函数的图像变换
1.首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：
(1)将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像.
(2)将函数y＝ax2 的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到 的图像.
(3)将函数y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到 的图像.y＝a(x＋h)2y＝a(x＋h)2＋k2.一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， 决定了二次函数图像的开口大小和方向； 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”， 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.答案ahk知识点三 二次函数的单调性答案知识点四 二次函数的最值答案返回 题型探究 重点突破题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数的解析式.解析答案反思与感悟解 方法一 利用二次函数的一般式.故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 利用二次函数的两根式.
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，解析答案故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1(a≠0).解得a＝－4.
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法三 利用二次函数的顶点式.
设f(x)＝a(x＋m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，解析答案又∵f(x)的最大值为8，∴n＝8.∵f(2)＝－1，故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.反思与感悟求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解.
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0).
当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解.
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k为常数，且a≠0).
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式.
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，且a≠0).
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式.解析答案跟踪训练1 已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式.解 设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，所以f(x)＝3(x＋1)2＋1，即f(x)＝3x2＋6x＋4.题型二 二次函数的对称性
例2 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，那么( )
A.f(2)C.f(2)又抛物线开口方向向上，由该二次函数的特征可知，自变量离对称轴越远，函数值越大，又4－2>|1－2|>2－2，故有f(4)>f(1)>f(2).
方法二 ∵f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，
∴b＝－4，又f(4)＝42－4×4＋c＝c，
f(2)＝22－4×2＋c＝c－4，f(1)＝12－4×1＋c＝c－3，
∴f(4)>f(1)>f(2).
答案 A反思与感悟对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于x＝a对称，有以下几种等价说法：
(1)f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)关于x＝a对称；
(2)f(x)＝f(2a－x)?f(x)关于x＝a对称；
(3)f(m＋x)＝f(n－x)(其中m＋n＝2a)?f(x)关于x＝a对称.解析答案解析 ∵对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，跟踪训练2 二次函数f(x)＝x2＋ax对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝________.－2解析答案题型三 二次函数的单调性
例3 函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上单调递减，则b的取值范围是( )
A.b≤－2 B.b≥－2
C.b>－2 D.b<－2A反思与感悟∴b≤－2.二次函数的单调性取决于两点：①图像的开口方向；②对称轴的位置.在解题时可借助图像进行分析.跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋1在[－1,1]上为单调函数，则实数a的取值范围是______________________.解析答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)题型四 闭区间上二次函数的最值
例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].
(1)若a＝1，求函数f(x)的最值；解析答案(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值.解析答案反思与感悟解析答案在[－1,1]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝4－a.反思与感悟1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到.
2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值.反思与感悟对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
3.对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：
(1)对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，即当h(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；解析答案解 当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.解析答案解 函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
故－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}.返回 当堂检测12345解析答案1.函数y＝x2＋2x－2的图像的顶点坐标是( )
A.(2，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(－1，－3)解析 y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故所求顶点坐标为(－1，－3).故选D.D123452.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数( )
A.对称轴为x＝1，最大值为3
B.对称轴为x＝－1，最大值为5
C.对称轴为x＝1，最大值为5
D.对称轴为x＝－1，最小值为3解析 由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1，最大值为5.C解析答案123453.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )
A.m＝－2 B.m＝2
C.m＝－1 D.m＝1A解析答案12345解析答案D123455.函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________.解析答案∴当x＝1时，f(x)min＝－3；当x＝－1时，f(x)max＝9.－39课堂小结(1)画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论；
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.返回
2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴.
3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质.
4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 二次函数的定义
1.形如y＝ (a≠0)的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式；
顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
2.说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式.答案ax2＋bx＋c答案知识点二 二次函数的图像变换
1.首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：
(1)将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像.
(2)将函数y＝ax2 的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到 的图像.
(3)将函数y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到 的图像.y＝a(x＋h)2y＝a(x＋h)2＋k2.一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， 决定了二次函数图像的开口大小和方向； 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”， 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.答案ahk知识点三 二次函数的单调性答案知识点四 二次函数的最值答案返回 题型探究 重点突破题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数的解析式.解析答案反思与感悟解 方法一 利用二次函数的一般式.故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 利用二次函数的两根式.
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，解析答案故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1(a≠0).解得a＝－4.
故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法三 利用二次函数的顶点式.
设f(x)＝a(x＋m)2＋n(a≠0).
∵f(2)＝f(－1)，解析答案又∵f(x)的最大值为8，∴n＝8.∵f(2)＝－1，故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.反思与感悟求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解.
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0).
当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解.
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k为常数，且a≠0).
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式.
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，且a≠0).
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式.解析答案跟踪训练1 已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式.解 设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，所以f(x)＝3(x＋1)2＋1，即f(x)＝3x2＋6x＋4.题型二 二次函数的对称性
例2 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，那么( )
A.f(2)
方法二 ∵f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，
∴b＝－4，又f(4)＝42－4×4＋c＝c，
f(2)＝22－4×2＋c＝c－4，f(1)＝12－4×1＋c＝c－3，
∴f(4)>f(1)>f(2).
答案 A反思与感悟对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于x＝a对称，有以下几种等价说法：
(1)f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)关于x＝a对称；
(2)f(x)＝f(2a－x)?f(x)关于x＝a对称；
(3)f(m＋x)＝f(n－x)(其中m＋n＝2a)?f(x)关于x＝a对称.解析答案解析 ∵对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，跟踪训练2 二次函数f(x)＝x2＋ax对任意x∈R，总有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝________.－2解析答案题型三 二次函数的单调性
例3 函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上单调递减，则b的取值范围是( )
A.b≤－2 B.b≥－2
C.b>－2 D.b<－2A反思与感悟∴b≤－2.二次函数的单调性取决于两点：①图像的开口方向；②对称轴的位置.在解题时可借助图像进行分析.跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋1在[－1,1]上为单调函数，则实数a的取值范围是______________________.解析答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)题型四 闭区间上二次函数的最值
例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].
(1)若a＝1，求函数f(x)的最值；解析答案(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值.解析答案反思与感悟解析答案在[－1,1]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝4－a.反思与感悟1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到.
2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值.反思与感悟对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
3.对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：
(1)对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，即当h
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.解析答案解 函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
故－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}.返回 当堂检测12345解析答案1.函数y＝x2＋2x－2的图像的顶点坐标是( )
A.(2，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(－1，－3)解析 y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故所求顶点坐标为(－1，－3).故选D.D123452.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数( )
A.对称轴为x＝1，最大值为3
B.对称轴为x＝－1，最大值为5
C.对称轴为x＝1，最大值为5
D.对称轴为x＝－1，最小值为3解析 由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1，最大值为5.C解析答案123453.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )
A.m＝－2 B.m＝2
C.m＝－1 D.m＝1A解析答案12345解析答案D123455.函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________.解析答案∴当x＝1时，f(x)min＝－3；当x＝－1时，f(x)max＝9.－39课堂小结(1)画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论；
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.返回