2.5 简单的幂函数
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课件35张PPT。§5 简单的幂函数第二章 函 数1.了解幂函数的定义及几个常见的幂函数的图像与性质.
2.理解函数奇偶性及其几何意义，会判断函数的奇偶性.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 幂函数的定义
如果一个函数， 是自变量x， 是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.答案底数指数答案思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y＝mxα是幂函数，m应满足什么条件？
答 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数.若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.
(2)幂函数与指数函数有何区别？
答 幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y＝xα(α∈R)，其自变量x处于底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y＝ax(a>0且a≠1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1.知识点二 简单的幂函数的图像和性质答案[0，＋∞)(－∞，0)∪
(0，＋∞)答案奇增[0，＋∞)偶增减奇奇增增减减[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}(1,1)非奇非偶知识点三 函数的奇偶性
1.奇函数的定义
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即 .反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数.
注意：奇函数的定义域一定关于 对称.答案f(－x)＝－f(x)原点2.偶函数的定义
一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数.在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(x)＝f(－x)；反之，满足f(x)＝f(－x)的函数y＝f(x)一定是偶函数.
注意：偶函数的定义域一定关于 对称.
3.当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 .答案原点奇偶性返回 题型探究 重点突破?解析答案(2)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)x (a为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值.
解 ∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，
得a＝1或a＝2.
当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意.
当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.
综上，得a的值为2.解析答案反思与感悟1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.
2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减.解析答案跟踪训练1 函数f(x)＝(m2－m－1)x 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.题型二 函数奇偶性的判断
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
解 ∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.解析答案解 ∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解析答案解 ∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.解析答案反思与感悟判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.解析答案解析 A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.C解析答案(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数A解析 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数.解析答案题型三 利用函数的奇偶性求值
例3 已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d).反思与感悟解 方法一 f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8， ①
f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8
＝－ad5－bd3－cd－8， ②
①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，
∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.
方法二 设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，
由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.
又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，
∴g(－d)＝－g(d)，
∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.反思与感悟解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d).也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解.跟踪训练3 函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝_____.解析答案3解析 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3).
又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，
所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.题型四 利用奇偶性求函数解析式
例4 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.解析答案解 当x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.反思与感悟1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.
2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.跟踪训练4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x－2) B.f(x)＝x(|x|－2)
C.f(x)＝|x|(x－2) D.f(x)＝|x|(|x|－2)解析答案解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，
则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
因此f(x)＝|x|(|x|－2).D解析答案利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)＝f(|x|)避免讨论解题思想方法例5 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.解析 ∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)>f(2)，
∴|x－1|<2，∴－2∴x∈(－1,3).故填(－1,3).(－1,3)反思与感悟本题的关键是利用偶函数的性质：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，从而由f(x－1)>f(2)转化得f(|x－1|)>f(2)，再由f(x)在[0，＋∞)上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|<2.其优点在于避免了讨论.解析答案跟踪训练5 函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A.a>1 B.a<－2
C.a>1或a<－2 D.－1解之得a>1或a<－2.故选C.C返回 当堂检测12345答案1.下列给出的函数中，是幂函数的是( )
A.y＝3x B.y＝2x3
C.y＝x－3 D.y＝x3－1C123452.若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值为( )
A.3 B.2
C.3或－2 D.k≠3且k≠－2解析 由幂函数的概念可知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.C解析答案123453.函数f(x)＝|x|＋1是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数B解析答案解析 函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，故选B.12345解析答案4.函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则( )
A.a＝0，b≠0，c≠0
B.ac＝0，b≠0
C.a＝0，c＝0，b取任意实数
D.a，b，c均可取任意实数
解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因函数是奇函数.所以f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2－bx－c，从而得ax2＋c＝0，又因为x可以取任意实数，所以a＝0，c＝0，b取任意实数，故选C.C123455.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，解析式为f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝________.解析答案x2－x解析 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝x2－x，
∴当x<0时，f(x)＝x2－x.课堂小结?返回
2.理解函数奇偶性及其几何意义，会判断函数的奇偶性.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 幂函数的定义
如果一个函数， 是自变量x， 是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.答案底数指数答案思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y＝mxα是幂函数，m应满足什么条件？
答 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数.若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.
(2)幂函数与指数函数有何区别？
答 幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y＝xα(α∈R)，其自变量x处于底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y＝ax(a>0且a≠1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1.知识点二 简单的幂函数的图像和性质答案[0，＋∞)(－∞，0)∪
(0，＋∞)答案奇增[0，＋∞)偶增减奇奇增增减减[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}(1,1)非奇非偶知识点三 函数的奇偶性
1.奇函数的定义
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即 .反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数.
注意：奇函数的定义域一定关于 对称.答案f(－x)＝－f(x)原点2.偶函数的定义
一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数.在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(x)＝f(－x)；反之，满足f(x)＝f(－x)的函数y＝f(x)一定是偶函数.
注意：偶函数的定义域一定关于 对称.
3.当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 .答案原点奇偶性返回 题型探究 重点突破?解析答案(2)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)x (a为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a的值.
解 ∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，
得a＝1或a＝2.
当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意.
当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.
综上，得a的值为2.解析答案反思与感悟1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.
2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减.解析答案跟踪训练1 函数f(x)＝(m2－m－1)x 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.解 根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.题型二 函数奇偶性的判断
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
解 ∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.解析答案解 ∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解析答案解 ∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.解析答案反思与感悟判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.解析答案解析 A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.C解析答案(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数A解析 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数.解析答案题型三 利用函数的奇偶性求值
例3 已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d).反思与感悟解 方法一 f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8， ①
f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8
＝－ad5－bd3－cd－8， ②
①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，
∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.
方法二 设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，
由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.
又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，
∴g(－d)＝－g(d)，
∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.反思与感悟解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d).也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解.跟踪训练3 函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝_____.解析答案3解析 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3).
又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，
所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.题型四 利用奇偶性求函数解析式
例4 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.解析答案解 当x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.反思与感悟1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.
2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.跟踪训练4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x－2) B.f(x)＝x(|x|－2)
C.f(x)＝|x|(x－2) D.f(x)＝|x|(|x|－2)解析答案解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，
∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，
则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
因此f(x)＝|x|(|x|－2).D解析答案利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)＝f(|x|)避免讨论解题思想方法例5 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.解析 ∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)>f(2)，
∴|x－1|<2，∴－2
C.a>1或a<－2 D.－1
A.y＝3x B.y＝2x3
C.y＝x－3 D.y＝x3－1C123452.若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值为( )
A.3 B.2
C.3或－2 D.k≠3且k≠－2解析 由幂函数的概念可知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.C解析答案123453.函数f(x)＝|x|＋1是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数B解析答案解析 函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，故选B.12345解析答案4.函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则( )
A.a＝0，b≠0，c≠0
B.ac＝0，b≠0
C.a＝0，c＝0，b取任意实数
D.a，b，c均可取任意实数
解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因函数是奇函数.所以f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2－bx－c，从而得ax2＋c＝0，又因为x可以取任意实数，所以a＝0，c＝0，b取任意实数，故选C.C123455.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，解析式为f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝________.解析答案x2－x解析 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝x2－x，
∴当x<0时，f(x)＝x2－x.课堂小结?返回