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《函数的图象》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）知道函数的三种表示法及其优缺点；
（2）能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；
（3）能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论。
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
建立综合考虑的思维模式。
【教学重点】
综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化过程。
【教学难点】
正确选择表示方法。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在上节课的学习当中，我们学习了如何画函数的图象，现在，大家根据这个问题一起来复习一下步骤吧。2·1·c·n·j·y
如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
（3）能画出函数的图象吗？
【过渡】对于这些问题，我想大家都能够很轻 ( http: / / www.21cnjy.com )易的回答出来，从刚刚的问题中，我们可以看到函数的表示方法并不是唯一的，比如解析式法，还有我们所画的图象及表格，都可以用来表示函数。那么这不同的方法都有哪些优缺点，我们又该如何选择呢？这节课我们就来探讨一下这个问题。
二、新课教学
1．函数的表示方法
【过渡】根据刚刚及之前的例子，大家能总结一下有几种表示方法，以及各自的优点吗？
三种，分别是列表法、解析式法、图象法。
分别举例说明三种方法的优点。
列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。
解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。
图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。
【过渡】在一个问题中，我们该如何灵活运用这三种不同的表示方法呢？我们一起来看例4.
讲解课本例4。
【过渡】从刚刚的例题中，我们能够看出，三种不同的表示方法之间是可以相互转化的。
（1）由函数解析式可以得到这个函数的列表及图象；
（2）由函数的图象可以得到其解析式及函数的对应值表格；
（3）由函数的表格可以得到函数的解析式及图象。
【过渡】通过刚刚的例题，大家能总结出三种方法又各自有什么缺点呢？
列表法：一目了然，使用起来方便；但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系；但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。21cnjy.com
图象法：形象直观；但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
【过渡】熟练掌握这三种表示方法，对于我们今后函数的学习是很有帮助的。
【知识巩固】1、.弹簧挂上物体后会伸长，现测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间有如下关系，下列说法不正确的是（ B ）21·世纪*教育网
物体质量x/千克 0 1 2 3 4 5 …
弹簧长度y/厘米 10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
A．x与y都是变量，其中x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0厘米
C．在弹性范围内，所挂物体质量为7千克时，弹簧长度为13.5厘米
D．在弹性范围内，所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米
2、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔 ( http: / / www.21cnjy.com )子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是 （2） 。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【典题精讲】如图所示，在边长为2的正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点。设点A移动的路程为x，△PAC的面积为y，求函数y的解析式。
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：①当点P在线段AB上移动，
即0＜x≤2时，y= APBC=x；
②当点P在线段BC上移动，
即2＜x＜4时，y= CPAB = (4-x)×2 =4﹣x；
③当点P在线段CD上移动，
即4＜x≤6时，y= PCAD= (x-4)×2 = =x﹣4；
④当点P在线段DA上移动，
即6＜x＜8时=0，y= AP CD= （x﹣6）×2=x-6．
【达标检测】1、某蓄水池的 ( http: / / www.21cnjy.com )横断面示意图如图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ A ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的函数关系式为（ B ）【来源：21·世纪·教育·网】
y 50 80 100 150
x 30 45 55 80
A. y=x2 B. y=2x-10
C. y=x+25 D. y= x+5
3、下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：
年份 2005 2006 2007 2008 2009
入学儿童人数 2930 2720 2520 2330 2140
（1）随着年份的变化，因变量入学儿童的人数变化的趋势是什么？答： 逐年下降 ；
（2）你认为入学儿童的人数会变成零吗？答： 会 。
4、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）21教育网
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？21世纪教育网版权所有
（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？
解：（1）反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；
其中x是自变量，y是因变量；
（2）提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强；（3）当x在2分钟至13分钟的范围内，学生的接受能力逐步增强；21·cn·jy·com
当x在13分钟至20分钟的范围内，学生的接受能力逐步降低；
（4）当提出概念所用的时间为23分钟时，学生的接受能力为49.9。
【板书设计】
1、函数的表示方法：
列表法、解析式法、图象法
【教学反思】
本节内容是前一课时的补充，与前一课时紧 ( http: / / www.21cnjy.com )密联系。因此，在开始之前，采用复习的方式，引导学生回忆函数的图象的基本知识，从而引出本节内容。在教学过程中，主要采用例题讲解过程中，穿插不同表示方法的比较，最后由学生总结，加深印象。www.21-cn-jy.com
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《函数的图象》练习
一、选择——基础知识运用
1．下面说法中正确的是（ ）
A． 两个变量间的关系只能用关系式表示
B． 图象不能直观的表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D． 以上说法都不对
2．赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表（见如表）：
年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法错误的是（ ）
A．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
B．赵先生的身高在21岁以后基本不长了
C．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cm
D．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm
3．如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．2013年8月16日，广东省遭受 ( http: / / www.21cnjy.com )台风“尤特”袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，一天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是（ ）www.21-cn-jy.com
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
A．8～12时 B．12～16时 C．16～20时 D．20～24时
5．星期天，小明和小兵租用一艘皮划艇去 ( http: / / www.21cnjy.com )嘉陵江游玩，他们先从上游顺流划行1小时，再停留0.5小时采集植物标本，然后加速划行0.5小时到下游，最后乘坐公交车1小时回到出发地，那么小明和小兵距离出发点的距离y随时间x变化的大致图象是（ ）2·1·c·n·j·y
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、解答——知识提高运用
6．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为 方。【来源：21·世纪·教育·网】
月用水量 不超过12方部分 超过12方不超过18方部分 超过18方部分
收费标准（元/方） 2 2.5 3
7．小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完成的百分数 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100
（1）5小时他完成工作量的百分数是 ；
（2）小华在 时间里工作量最大；
（3）如果小华在早晨8时开始工作，则他在 时间没有工作。
8．星期天，小明与小刚骑自行车 ( http: / / www.21cnjy.com )去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行驶1小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的函数图象．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：
时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度（米/秒） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是什么？
（3）当T每增加1秒，V的变化情况相同吗？在哪1秒钟，V的增加最大？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限。21cnjy.com
10．如图所示，用长为20的铁丝焊接成一个长方形，设长方形的一边为x，面积为y，随着x的变化，y的值也随之变化。21·cn·jy·com
（1）写出y与x之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）用表格表示当x从1变化到9时（每次增加1），y的相应值；
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
（3）当x为何值时，y的值最大？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；
B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；
C、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；
D、以上说法都不对，错误；
故选C。
2．【答案】C
【解析】A、从0-18增长较快，18-24增长变慢，所以高增长速度总体上先快后慢是正确的；
B、从21岁步入成年，身高在21岁以后基本不长了是正确的；
C、（170.4-48）÷24=5.1cm，从0岁到24岁平均每年增高7.1cm是错误的；
D、（170.4-48）÷24=5.1cm，从0岁到24岁平均每年增高5.1cm是正确的。
故选：C。
3．【答案】C
【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项；
故选C。
4．【答案】D
【解析】由表可以看出：在相等的时间间隔内，20时至24时水位上升最快．
故选D。
5．【答案】A
【解析】∵先从上游顺流划行1小时，
∴第一段函数图象结束点的横坐标为1，
故排除D；
∵停留0.5小时采集植物标本，
∴此段图象平行于x轴，
故排除C；
∵加速划行0.5小时到下游，
∴这段函数图象的斜率比第一段的斜率大（即倾斜度大），
故排除B。
故选A。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】20
【解析】∵45＞12×2+6×2.5=39，
∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，
设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x-18）．
当y=45时，x=20，
即用水20方。
7．【答案】（1）5小时他完成工作量的百分数是50%；
（2）由图表可知，在第二小时完成的百分数最大是20%，所以，在第二小时时间里工作量最大；
（3）开始工作4～5小时工作量都是50%没有发生变化，
∵早晨8时开始工作，
∴在12～13小时时间没有工作．
故答案为：50%；第二小时；12～13小时。
8．【答案】2.5个小时走完全程50千米，所以1.5小时走了30千米，休息0.5小时后1小时走了20千米，由此作图即可。21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．【答案】（1）上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是V随着T的增大而增大；
（3）当T每增加1秒，V的变化情况不相同，在第9秒时，V的增加最大；
（4） ≈33.3（米/秒），
由33.3-28.9=4.4，且28.9-24.2=4.7＞4.4，
所以估计大约还需1秒。
10．【答案】（1）y=（20÷2-x）×x=（10-x）×x=10x-x2；
x是自变量，y是因变量．
（2）所填数值依次为：9，16，21，24，25，24，21，16，9；
（3）由（2）可以看出：当x为5时，y的值最大。
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人教版 八年级下册
19.1.2 函数的图象
导入新课
如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
（3）能画出函数的图象吗？
x
是
y=2(x+)
导入新课
40
35
30
25
20
15
10
5
5
10
O
x
y
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
新课学习
函数的表示方法
思考：
1、函数的表示方法有几种，分别是什么？
2、这三种表示函数的方法各有什么优点？
三种，分别是列表法、解析式法、图象法
新课学习
列表法
列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
人数 1000 1000 1200 1400 1400 2300 2600
例如：表示某景区一周内的游客数量
主要反映对应关系
新课学习
解析式法
解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。
如：正方形的面积S与边长a的关系：S=a2
物理中，物体的质量m与体积V的关系：m=ρV.
新课学习
图象法
图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。
2.5
1.5
0.5
y
x
-0.5
1
2
-1
O
y=x+0.5
如：右图为函数y=x+0.5的图象，从图象中，我们能够看到，函数y随x增大而增大。
新课学习
例4：一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水温高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
新课学习
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？
O
1
t
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
描出表中6个点的位置，画图，得出这6个点在一条直线上。
猜想，在这5h内其他时刻，水位可能是始终以同一速度均匀上升的。
新课学习
(2)水位高度y是否为时间t的函数 如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位变化的规律吗？
y=0.3t+3（0≤t ≤ 5）
O
1
t
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
表示经过th水位上升0.3tm
图象要注意t的取值范围
这个函数可以近似地表示水位的变
化规律.
新课学习
(3)据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米？
由函数解析式：再过2h，即t=7h，则水位高度为：
y=0.3×7+3=5.1m
O
1
t
y
1
2
3
4
5
4
3
2
5
7
5.1
由图象：将图象向右延伸到7所对应的位置，如图所示，同样可以得出结论。
牛刀小试
函数的三种表示法通常是相互关联，可以相互转化(特殊的函数除外):
（1）由函数解析式可以得到这个函数的列表及图象。
（3）由函数的表格可以得到函数的解析式及图象。
（2）由函数的图象可以得到其解析式及函数的对应值表格。
新课学习
列表法：一目了然，使用起来方便；但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
函数的表示方法优点和不足
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系；但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观；但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
知识巩固
1.弹簧挂上物体后会伸长，现测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间有如下关系，下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，其中x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0厘米
C．在弹性范围内，所挂物体质量为7千克时，弹簧长度为13.5厘米
D．在弹性范围内，所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米
B
物体质量x/千克 0 1 2 3 4 5 …
弹簧长度y/厘米 10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
知识巩固
2. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是 ．（填序号）
（2）
知识巩固
解析：由题意可得，S1的始终是匀速增长，开始时，S2的增长比较快，但中间有一段时间S2停止增长．
在最后一段时间里，S2的增长较快，但S2的值没有超过S1的值．
结合所给的图象可知，应选（2），
故答案为（2）．
典题精讲
1.如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点。设点A移动的路程为x，△PAC的面积为y，求函数y的解析式。
典题精讲
解：①当点P在线段AB上移动，
即0＜x≤2时，y= APBC=x；
②当点P在线段BC上移动，
即2＜x＜4时，y= CPAB = (4-x)×2 =4﹣x；
③当点P在线段CD上移动，
即4＜x≤6时，y= PCAD= (x-4)×2 = =x﹣4；
④当点P在线段DA上移动，
即6＜x＜8时=0，y= AP CD= （x﹣6）×2=x﹣6．
课堂小结
列表法、解析式法、图象法
函数的三种表示方法：
达标检测
1.某蓄水池的横断面示意图如图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
A
达标检测
2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的函数关系式为（ ）
A. y=x2 B. y=2x-10
C. y=x+25 D. y=x+5
B
Y 50 80 100 150
x 30 45 55 80
达标检测
3.下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：
（1）随着年份的变化，因变量入学儿童的人数变化的趋势是什么？答： ；
（2）你认为入学儿童的人数会变成零吗？答： ．
逐年下降
会变成零
年份 2005 2006 2007 2008 2009
入学儿童人数 2930 2720 2520 2330 2140
达标检测
4.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
达标检测
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？
达标检测
解：（1）反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；
其中x是自变量，y是因变量；
（2）提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强；（3）当x在2分钟至13分钟的范围内，学生的接受能力逐步增强；
当x在13分钟至20分钟的范围内，学生的接受能力逐步降低；
（4）当提出概念所用的时间为23分钟时，学生的接受能力为49.9。
