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《正比例函数》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握正比例函数的概念；
（2）会求正比例函数的解析式；
（3）掌握正比例函数的性质。
2.过程与方法
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。
3.情感态度和价值观
实例引入，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】
正比例函数的概念及图像。
【教学难点】
正比例的性质与常数k的关系。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。21世纪教育网版权所有
函数解析式：用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式。
函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。21教育网
（可以由学生回答）
【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看 ( http: / / www.21cnjy.com )到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。21cnjy.com
二、新课教学
1．正比例函数
【过渡】首先，我们来思考这样一个问题。
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。设列车的平均速度为300千米/时。考虑以下问题：21·cn·jy·com
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
(2) 京沪高铁列车y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时的行程后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
【过渡】对于问题1，我们通过路程与速度的计算公式能够很轻易的得出：
1318÷300 = 4.4（时）
【过渡】现在我们来看看第二个问题，结合之前我们学过的函数解析式的书写，你能正确写出这个关系式吗？
（学生回答）
【过渡】同样的根据路程、速度与时间的关系， ( http: / / www.21cnjy.com )我们知道，路程=速度×时间。但在实际问题中，我们需要考虑取值范围，刚刚我们计算全程的时间为4.4小时，因此，这个关系式即为：
y=300t （0≤x≤4.4）.
【过渡】第三个问题大家来计算一下吧。
当t=2.5时，y=300×2.5=750 （km），这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站。
【过渡】刚刚我们利用函数关系式解决了第三个问题，尽管与实际会有不同，但整体的对应规律是一致的。现在，我们来看一下课本的几个思考题。www.21-cn-jy.com
课本P86思考内容。
【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？
（学生回答）
列表更清晰直观。
【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！
【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
【过渡】大家来练习一下吧。
【练习】1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例函数的比例系数是多少？
（1）y=-0.1x；（2）y=-1 /2 x；（3）y=2x2；（4）y2=4x
2、若y=(k-2)x+k2-4是正比例函数，则k= ，此时的函数解析式为 。
【过渡】关于第二个问题，我们只需要牢记正比例函数的定义即可解决。
注意：使自变量的指数为1；系数不为0；常数项即k不为0。
2、正比例函数的图象
【过渡】第一节内容中，我们学习了如何画函数的图象，现在，大家自己动手画一下课本例1的几个图象吧。
（学生动手）
课件展示过程。
【过渡】我们以（1）中的y=2x为例，按照 ( http: / / www.21cnjy.com )画函数图象的步骤：列表、描点、连线，得到如图所示的图象。然后我们将第二个图象也画出来。观察这两个图象，有什么相似之处呢？
【过渡】通过观察，我们发现，两图象都是经过原点的直线。两图象均从左到右上升，经过第一、三象限，即：随着x的增大y也增大。2·1·c·n·j·y
在这个时候，我们看到，k是大于0的数。如果k是小于0的，又会是什么样的情况呢？我们来比较一下（2）的两个函数。【来源：21·世纪·教育·网】
【过渡】通过观察，我们发现，两图象都是经过原点的直线。两图象均从左到右下降，经过第二、四象限，即：随着x的增大y反而减小。21·世纪*教育网
【过渡】通过刚刚的比较，我们发现，不管k的取值如何，正比例函数的图象均是通过原点的直线，不同的地方在于直线的方向。2-1-c-n-j-y
正比例函数的图象及性质：
（1）正比例函数的图象都是经过坐标原点的直线。
（2）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即：随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即：随着x的增大y反而减小。
【过渡】经过原点与（１，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
【过渡】结合正比例函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数，)的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可。
【过渡】既然我们能够简单的画出正比例函数的图象，那么，我想问大家另外一个问题。正比例函数的图象与x轴的夹角与k值有什么关系？www-2-1-cnjy-com
由学生根据自己的实例，进行总结。
当图象经过一、三象限时，直线与x轴正方向的夹角越大，k值就越大；
当图象经过二、四象限时，直线与x轴负方向的夹角越大，k值就越小；
总结：|k |越大，直线与x轴的夹角越大。
【练习】比较大小。
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）k1 ＜ k2
（2）k3 ＜ k4
（3）比较k1、k2、k3、k4大小，并用不等号连接。
k1＜k2＜k3＜k4
【知识巩固】1、若函数y=（3-m）xm2 8是正比例函数，则m的值是（ A ）
A．-3 B．3 C．±3 D．-1
2、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系；
（2）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系；21*cnjy*com
（3）一个长方形的面积是16cm2，它的一边长y（cm）与邻边长x（cm）的关系。
解：（1）y=x=0.2x，y是x的正比例函数；
（2）y=120-40x，y是x的一次函数；
（3）y=，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数．
3、.对于函数y＝ x，下列说法不正确的是（ D ）
A．其图象经过点（0，0）
B．其图象经过点（-1，）
C．其图象经过第二、四象限
D．y随x的增大而增大
4、正比例函数y=（2m-1）x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围为 m＜ 。
5、若正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象必经过点（ D ）
A．（-3，-2） B．（2，3）
C．（3，-2） D．（-2，3）
【达标检测】1、函数y=（2-a）x+b-1是正比例函数的条件是（ C ）
A．a≠2 B．b=1
C．a≠2且b=1 D．a，b可取任意实数
2、下列函数中，是正比例函数的是（ B ）
A．y＝ B．y＝
C．y=3x+9 D．y=2x2．
3、已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，-3）在函数上，则y随x的增大而（ B ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．不能确定
4、已知正比例函数y=（2m+4）x．求：
（1）m为何值时，函数图象经过一、三象限；
（2）m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上
解：（1）∵函数图象经过一、三象限，
∴2m+4＞0，解得m＞-2；
（2）∵y随x的增大而减小，
∴2m+4＜0，解得m＜-2；
（3）∵点（1，3）在该函数图象上，
∴2m+4=3，解得m=- 。
【板书设计】
1、正比例函数：
形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2、正比例函数的性质
【教学反思】
本节课采用了我 “ 导、学、练、结，自 ( http: / / www.21cnjy.com )学辅导法”的授课方式，即在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法。由于学生亲自来发现事物的特征和规律，能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自行学习的内在动机，更有利于发展学生的创造性思维能力。
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《正比例函数》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列关于正比例函数y=-5x的说法中，正确的是（ ）
A．当x=1时，y=5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
2．若一个正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象一定也经过点（ ）
A．（-3，2） B．（，-1） C．（，-1） D．（-，1）
3．对于函数y=-k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．是一条直线
B．过点（，-k）
C．经过一、三象限或二、四象限
D．y随着x增大而减小
4．如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
5．正比例函数y=（k-3）x的图象经过一、三象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞3 C．k＜0 D．k＜3
二、解答——知识提高运用
6．已知直线y=（2-3m）x ( http: / / www.21cnjy.com )经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 。21·cn·jy·com
7．正比例函数y=（a+1）x的图象经 ( http: / / www.21cnjy.com )过第二四象限，若a同时满足方程x2+（1-2a）x+a2=0，判断此方程根的情况 ．2·1·c·n·j·y
8．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；
（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
10．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y= x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．已知正比例函数y=kx．
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？
（2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式．
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】A、当x=1时，y=-5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选B。
2．【答案】C
【解析】∵正比例函数y=kx经过点（2，-3），
∴-3=2k，
解得k=-；
∴正比例函数的解析式是y=-x；
A、∵当x=-3时，y≠2，∴点（-3，2）不在该函数图象上；故本选项错误；
B、∵当x=时，y≠-1，∴点（，-1）不在该函数图象上；故本选项错误；
C、∵当x=时，y=-1，∴点（，-1）在该函数图象上；故本选项正确；
D、∵当x=时，y≠1，∴点（1，-2）不在该函数图象上；故本选项错误。
故选C。
3．【答案】C
【解析】∵k≠0
∴-k2＞0
∴-k2＜0
∴函数y=-k2x（k是常数，k≠0）图象为直线，且经过二、四象限，如图，
∴y随x的增大而减小，
∴C错误。
故选C。
4．【答案】C
【解析】首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c。
故选：C。
5．【答案】B
【解析】由正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限，
可得：k-3＞0，则k＞3。
故选B。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵直线y=（2-3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，
∴此函数是减函数，
∴2-3m＜0，解得m＞。
故答案为：m＞。
7．【答案】∵正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，
∴a+1＜0，即a＜-1，
∵△=（1-2a）2-4a2
=1-4a，
∵a＜-1，
∴1-4a＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根。
故答案为方程有两个不相等的实数根。
8．【答案】（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为-2，点A的坐标为（3，-2），
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=-2解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，-2），
∴OP=5，
∴点P的坐标为（5，0）或（-5，0）。
9．【答案】（1）行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系为：y=60x，是x的一次函数，是正比例函数；21世纪教育网版权所有
（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径r（厘米）之间的关系为：y=πx2，不是x的一次函数，不是正比例函数；21教育网
（3）x月后这棵树的高度为y（厘米）之间的关系为：y=50+2x，是x的一次函数，不是正比例函数。
10．【答案】如图所示：
①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点，
P1坐标为（- ，- ），P2（，），
②以A为圆心，1为半径作弧交直线y= x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，），
③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）．
故答案为：P1（-，P2（，），P3（，），P4（，）．www.21-cn-jy.com
11．【答案】（1）∵函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0；
（2）当x=1，y=-2时，则k=-2，
即：y=-2x。
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人教版 八年级下册
19.2 正比例函数
导入新课
回忆
什么是函数解析式？
用关于自变量的式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式。
什么是函数的图象？
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
新课学习
正比例函数
思考
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。设列车的平均速度为300千米/时。考虑以下问题：
1318÷300 = 4.4（时）
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
新课学习
y=300t （0≤x≤4.4）.
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时的行程后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
(2) 京沪高铁列车y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
当t=2.5时，y=300×2.5=750 （km）.
注意自变量的取值范围哦！
这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站
新课学习
思考
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长 l随半径r的大小变化而变化.
解： l=2πr .
（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化.
解：m =7.8 V .
新课学习
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h（单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；
（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。
解：h =0.5n .
解：T=-2t .
函数解析式 常数 自变量 函数
（1）l=2πr
（2）m=7.8V
（3）h=0.5n
（4）T= －2t
新课学习
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数。
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！
2π
r
l
7.8
V
m
0.5
n
h
－2
t
T
想一想
这些函数有什么共同点？
新课学习
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
正比例函数的定义
牛刀小试
1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例函数的比例系数是多少？
是正比例函数，比例系数是-0.1.
是正比例函数，比例系数是-.
不是正比例函数.
不是正比例函数.
（1）y=-0.1x
（2）y=-x
（3）y=2x2
（4）y2=4x
牢记正比例函数关系式的通式。
牛刀小试
2、若y=(k-2)x+k2-4是正比例函数，则k= ，此时的函数解析式为 。
-2
y=-4x
解：根据题意得：
k2-4=0，且k-2≠0
解得：k=-2
此时函数解析式为：y=-4x
注意：
使自变量的指数为1；
系数不为0；
常数项即k不为0。
知识巩固
1.若函数y=（3-m）xm2 8是正比例函数，则m的值是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．-1
解析：∵函数y=（3-m）xm2 8是正比例函数，
∴m2-8=1，解得：m1=3，m2=-3；
且3-m≠0，∴m=-3．
故答案选：A．
A
知识巩固
2.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判定y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y（元）与铅笔支数x（支）之间的关系；
（2）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（时）的关系；
（3）一个长方形的面积是16cm2，它的一边长y（cm）与邻边长x（cm）的关系.
知识巩固
解：（1）y=x=0.2x，y是x的正比例函数；
（2）y=120-40x，y是x的一次函数；
（3）y=，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数．
新课学习
例1 作出正比例函数的图象
解： （1）y=2x 列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x … …
-4
-2
0
2
4
描点：
连线：
(1)y=2x; y=x (2)y=-1.5x; y=-4x
正比例函数的图象
新课学习
y
x
y=2x
3
0
2
1
-1
-2
-3
-1
-2
-3
1
2
3
4
-4
y=x
两图象都是经过原点的直线。
两图象均从左到右上升，经过第一、三象限，即：随着x的增大y也增大。
新课学习
解： y=-1.5x列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-1.5x … …
3
1.5
0
-1.5
-3
描点：
连线：
(2)y=-1.5x; y=-4x
新课学习
4
0
2
2
4
6
-2
-4
-2
-4
y
x
y=-1.5x
两图象都是经过原点的直线。
两图象均从左到右下降，经过第二、四象限，即：随着x的增大y反而减小。
y=-4x
新课学习
（1）正比例函数的图象都是经过坐标原点的直线。
（2）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即：随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即：随着x的增大y反而减小.
正比例函数的性质
称为直线y=kx
新课学习
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数y=kx (k是常数，k≠0 )的图象，由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
经过原点与（１，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
想一想
新课学习
当图象经过二、四象限时，直线与x轴负方向的夹角越大，k值就越小；
当图象经过一、三象限时，直线与x轴正方向的夹角越大，k值就越大；
想一想
总结：越大，直线与x轴的夹角越大。
正比例函数的图象与x轴的夹角与k值有什么关系？
牛刀小试
（2）k3 k4
（1）k1 k2
（3）比较k1、k2、k3、k4大小，并用不等号连接。
比较大小
＜
＜
k1＜k2＜k3＜k4
知识巩固
3.对于函数y＝ x，下列说法不正确的是（ ）
A．其图象经过点（0，0）
B．其图象经过点（-1， ）
C．其图象经过第二、四象限
D．y随x的增大而增大
D
知识巩固
4.正比例函数y=（2m-1）x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围为 。
m＞
解析：由正比例函数的图象经过第一、三象限，
可得：2m-1＞0，则m＞
知识巩固
5.若正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象必经过点（ ）
A．（-3，-2） B．（2，3）
C．（3，-2） D．（-2，3）
D
知识巩固
解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
因为正比例函数y=kx的图象经过点（2，-3），
所以-3=2k，
解得：k=- ，所以y=- x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=- x中，等号成立的点就在正比例函数y=- x的图象上，
所以这个图象必经过点（-2，3）．故选D．
掌握求解正比例函数解析式
课堂小结
解析式 图象 图像位置 函数变化
x
y
0
y=kx(k≠0)
k＞0
x
y
0
第一,三象限
y=kx(k≠0)
k＜0
第二,四象限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
正比例函数
达标检测
1.函数y=（2-a）x+b-1是正比例函数的条件是（ ）
A．a≠2 B．b=1
C．a≠2且b=1 D．a，b可取任意实数
C
达标检测
2.下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝
C．y=3x+9 D．y=2x2．
B
达标检测
3.已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，-3）在函数上，则y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．不能确定
B
达标检测
4.已知正比例函数y=（2m+4）x．求：
（1）m为何值时，函数图象经过一、三象限；
（2）m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上
达标检测
解：（1）∵函数图象经过一、三象限，
∴2m+4＞0，解得m＞-2；
（2）∵y随x的增大而减小，
∴2m+4＜0，解得m＜-2；
（3）∵点（1，3）在该函数图象上，
∴2m+4=3，解得m=- ．
