3.3.1 指数函数的图像与性质
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课件39张PPT。第三章 §3 指数函数第1课时 指数函数的图像与性质1.理解指数函数的概念和意义.
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图像.
3.初步掌握指数函数的有关性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝ 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.答案ax(a>0，a≠1)答案?知识点二 指数函数的图像和性质答案R(0，＋∞)(0,1)010＜y＜10＜y＜1增函数减函数返回 题型探究 重点突破题型一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4解析答案反思与感悟解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
答案 B反思与感悟1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.反思与感悟跟踪训练1 函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，求a的值.解析答案题型二 指数函数的图像
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )解析答案A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c反思与感悟解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上，底数依次增大.
由指数函数图像的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 如图，作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.答案 B反思与感悟无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.反思与感悟跟踪训练2 如图，若0例3 已知f(x)＝2x的图像，指出下列函数的图像是由y＝f(x)的图像通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；
解 y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向左平移一个单位得到.
(2)y＝2x－1；
解 y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位得到.
(3)y＝2x＋1；
解 y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位得到.解析答案(4)y＝2－x；
解 ∵y＝2－x与y＝2x的图像关于y轴对称，∴作y＝2x的图像关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图像.
(5)y＝2|x|.
解 ∵y＝2|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图像，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图像.解析答案反思与感悟指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像变换：
(1)平移变换：把函数y＝ax的图像向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图像；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图像；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图像；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax－φ的图像.即“左加右减，上加下减”.反思与感悟(2)对称变换：函数y＝a－x的图像与函数y＝ax的图像关于y轴对称；函数y＝－ax的图像与函数y＝ax的图像关于x轴对称；函数y＝－a－x的图像与函数y＝ax的图像关于原点对称；函数y＝a|x|的图像关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图像就是y＝ax－b在x轴上方的图像不动，把x轴下方的图像翻折到x轴上方.
(3)一般的情形：①函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)在x轴上方图像与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；
②函数y＝f(|x|)的图像由函数y＝f(x)在y轴右方图像与其关于y轴对称的图像合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图像是( )解析答案解析 y＝2x－2的图像是由y＝2x的图像向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图像是由y＝2x－2的图像在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.
答案 B(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值
范围是_________.解析答案?题型四 指数型函数的定义域、值域
例4 求下列函数的定义域和值域：解析答案解 由x－4≠0，得x≠4，解析答案解 由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，解析答案∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，解析答案(4)y＝4x＋2x＋1＋1.
解 定义域为R.
∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}.反思与感悟1.对于y＝af(x)(a＞0，a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转化为二次函数求值域.反思与感悟解析答案A解析答案换元时忽略新元范围致误易错点解析答案返回解析答案即原函数的值域是(1，＋∞).
纠错心得 凡换元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.返回 当堂检测12345解析答案解析 由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.D12345?解析答案12345答案 B123453.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.任意值
解析 由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，
解得a＝3或a＝2，
又因为a－1>0且a－1≠1，
故a＝3.B解析答案123454.已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是( )
A.(－1,5) B.(－1,4)
C.(0,4) D.(4,0)解析答案解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1,5).故选A.A12345解析答案解析 ∵x2－1≥－1，又y＞0，∴函数值域为(0,2].5.函数 的值域是________.(0,2]课堂小结1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2.当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快.返回
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图像.
3.初步掌握指数函数的有关性质.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝ 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.答案ax(a>0，a≠1)答案?知识点二 指数函数的图像和性质答案R(0，＋∞)(0,1)010＜y＜10＜y＜1增函数减函数返回 题型探究 重点突破题型一 指数函数的概念
例1 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4解析答案反思与感悟解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
答案 B反思与感悟1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.反思与感悟跟踪训练1 函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，求a的值.解析答案题型二 指数函数的图像
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )解析答案A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c反思与感悟解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的图像由下到上，底数依次增大.
由指数函数图像的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 如图，作直线x＝1，与四个图像分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.答案 B反思与感悟无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.反思与感悟跟踪训练2 如图，若0
(1)y＝2x＋1；
解 y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向左平移一个单位得到.
(2)y＝2x－1；
解 y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位得到.
(3)y＝2x＋1；
解 y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位得到.解析答案(4)y＝2－x；
解 ∵y＝2－x与y＝2x的图像关于y轴对称，∴作y＝2x的图像关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图像.
(5)y＝2|x|.
解 ∵y＝2|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图像，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图像.解析答案反思与感悟指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像变换：
(1)平移变换：把函数y＝ax的图像向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图像；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图像；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图像；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y＝ax－φ的图像.即“左加右减，上加下减”.反思与感悟(2)对称变换：函数y＝a－x的图像与函数y＝ax的图像关于y轴对称；函数y＝－ax的图像与函数y＝ax的图像关于x轴对称；函数y＝－a－x的图像与函数y＝ax的图像关于原点对称；函数y＝a|x|的图像关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图像就是y＝ax－b在x轴上方的图像不动，把x轴下方的图像翻折到x轴上方.
(3)一般的情形：①函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)在x轴上方图像与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；
②函数y＝f(|x|)的图像由函数y＝f(x)在y轴右方图像与其关于y轴对称的图像合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图像是( )解析答案解析 y＝2x－2的图像是由y＝2x的图像向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图像是由y＝2x－2的图像在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.
答案 B(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值
范围是_________.解析答案?题型四 指数型函数的定义域、值域
例4 求下列函数的定义域和值域：解析答案解 由x－4≠0，得x≠4，解析答案解 由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，解析答案∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，解析答案(4)y＝4x＋2x＋1＋1.
解 定义域为R.
∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}.反思与感悟1.对于y＝af(x)(a＞0，a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转化为二次函数求值域.反思与感悟解析答案A解析答案换元时忽略新元范围致误易错点解析答案返回解析答案即原函数的值域是(1，＋∞).
纠错心得 凡换元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.返回 当堂检测12345解析答案解析 由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.D12345?解析答案12345答案 B123453.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.任意值
解析 由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，
解得a＝3或a＝2，
又因为a－1>0且a－1≠1，
故a＝3.B解析答案123454.已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是( )
A.(－1,5) B.(－1,4)
C.(0,4) D.(4,0)解析答案解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1,5).故选A.A12345解析答案解析 ∵x2－1≥－1，又y＞0，∴函数值域为(0,2].5.函数 的值域是________.(0,2]课堂小结1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2.当a＞1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快.返回