3.3.2 指数函数及其性质的应用

课件41张PPT。第三章　§3 指数函数第2课时　指数函数及其性质的应用1.理解指数函数的单调性与底数的关系.
2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一　指数型复合函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性
(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调 ，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调 ，简称为 .
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 .答案递增递减同增异减相同相反知识点二　指数型函数y＝k·ax(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型
1.指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).
2.指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).返回 题型探究 重点突破题型一　利用指数型函数的单调性比较大小
例1　比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；解析答案解　(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的.
又2.5<3，所以1.72.5<1.73.反思与感悟解析答案(2)0.6－1.2,0.6－1.5；解　(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R上是减少的.
因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.反思与感悟(3)2.3－0.28,0.67－3.1.解　(中间量法)由指数型函数的性质，知
2.3－0.28<2.30＝1，
0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.解析答案1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调来判断.
2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图像的变化规律来判断.
3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较.
4.对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小.解析答案跟踪训练1　比较下列各题中的两个值的大小：
(1)0.8－0.1,0.8－0.2；解　由指数型函数的性质知，y＝0.8x是减函数，－0.1>－0.2，
所以0.8－0.1<0.8－0.2.解　由指数函数的性质知所以解析答案(3)3－x,0.5－x(－11，因此有3－x>1，
又0<0.5<1，∴有0<0.5－x<1，
∴3－x>0.5－x(－1故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)已知 求x的取值范围.解析答案解　分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图像可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图像可得－1综上所述，当05；
当a>1时，－12.解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即跟踪训练2　(1)不等式4x<42－3x的解集是________.解析答案(2)设02.
所以不等式的解集是{x|x>2}.{x|x>2}题型三　指数型函数的单调性
例3　判断 的单调性，并求其值域.解析答案反思与感悟∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴ 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴原函数的值域为(0,3].反思与感悟1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.跟踪训练3　求函数 的单调区间.解析答案令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，解析答案解　∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，解析答案(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；故f(x)在R上为减函数.解析答案(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.反思与感悟解　∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，反思与感悟1.由f(x)为奇函数求参数值，常用赋值法：若0在定义域内，则利用f(0)＝0；若0不在定义域内，可考虑使用f(1)＋f(－1)＝0.而由f(x)为偶函数求参数值，则常常利用f(1)－f(－1)＝0.
2.指数型函数是一种基本的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.解析答案解　依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，解析答案(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
证明　设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝∵0＜x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.利用图像解决复合函数的单调性解题思想方法解析答案反思与感悟解析答案因为u≥0，所以f(u)是增函数.反思与感悟所以f(g(x))的单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0].反思与感悟求复合函数y＝f(g(x))的单调区间时，如果内函数y＝g(x)的图像容易画出，那么就可以通过图像求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程.跟踪训练5　已知函数(1)作出图像；解析答案(2)由图像指出其单调区间；解　由图像观察知函数在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数.解析答案(3)由图像指出，当x取什么值时，函数有最大值或最小值.?返回 当堂检测12345解析答案D1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析　先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.12345解析答案B12345解析答案∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数.A12345解析答案∴由f(m)>f(n)可知m(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2.指数型函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数.
(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay?x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay?x＜y.返回