3.4.1 对数及其运算
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课件29张PPT。第三章 §4 对 数第1课时 对数及其运算1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作 .其中a叫作对数的 ，N叫作 .答案logaN＝b底数真数知识点二 常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常将以 为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lg N.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.答案10知识点三 对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝ .答案logaN知识点四 对数的基本性质
(1) 和 没有对数.
(2)loga1＝ (a＞0，且a≠1).
(3)logaa＝ (a＞0，且a≠1).负数零01答案思考 (1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？答 lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1.(2)为什么对数式x＝logaN中规定底数a>0且a≠1?答 由于对数式x＝logaN中的a来自于指数式ax＝N中的a，所以当规定了ax＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝logaN中的a也受到相同的限制.(3)为什么负数和零没有对数？答 由于ax＝N>0，所以x＝logaN中的N>0.返回 题型探究 重点突破题型一 指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)54＝625；解析答案解 由54＝625，得log5625＝4.(2)log216＝4；解 由log216＝4，得24＝16.(3)10－2＝0.01；解 由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.解析答案反思与感悟1.对数式与指数式关系图：反思与感悟对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数.
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN.解析答案解析 由指对互化的关系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；
C中log24＝2?22＝4.C题型二 利用对数基本性质求值
例2 求下列各式的值：
(1)log33；解析答案解 log33＝1.(2)log51；解 log51＝0.解 解析答案解 (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5；解 lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6.反思与感悟(6)ln e＋ln 1＋eln 3.解 ln e＋ln 1＋eln 3＝1＋0＋3＝4.1.常见的公式loga1＝0，logaa＝1，反思与感悟2.求logaN的值，只需将N写成ab的形式再利用公式logaab＝b去解.跟踪训练2 求值：解析答案解 解 题型三 利用对数基本性质解方程解析答案解析答案解析答案(3)log2(log5x)＝0；解 由log2(log5x)＝0得log5x＝20＝1，故x＝51＝5.(4)log3(lg x)＝1.解 由log3(lg x)＝1得lg x＝3，故x＝103＝1 000.反思与感悟应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.反思与感悟?解析答案(2)logx25＝2；
解 由logx25＝2，得x2＝25.
∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)log5x2＝2.
解 由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.忽视对数的真数大于0致误易错点解析答案例4 方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)的根为( )
A.2或－4 B.－4
C.2 D.－2或4错解 由已知得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，
解得x＝－4或x＝2.故选A.
正解 前同错解得x＝－4或x＝2.
经检验，x＝2时，－2x－1<0，x2－9<0，
与对数的真数大于0矛盾，故x＝2舍去.
所以原方程的根为x＝－4，故选B.
纠错心得 在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.解析答案∴(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0.
解得x＝－1或x＝4.
经检验，x＝－1不合题意，故舍去；x＝4是原方程的解.
∴原方程的解是x＝4.返回 当堂检测12345解析答案1.2x＝3化为对数式是( )
A.x＝log32 B.x＝log23
C.2＝log3x D.2＝logx3
解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.B123452.若log3x＝3，则x等于( )
A.1 B.3 C.9 D.27
解析 ∵log3x＝3，∴x＝33＝27.解析答案D12345答案B12345解析答案12345解析答案解析 ∵ln x＝1，∴x＝e.5.若lg(ln x)＝0，则x＝_____.e课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；
(2)
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化返回
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作 .其中a叫作对数的 ，N叫作 .答案logaN＝b底数真数知识点二 常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常将以 为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lg N.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.答案10知识点三 对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N?x＝ .答案logaN知识点四 对数的基本性质
(1) 和 没有对数.
(2)loga1＝ (a＞0，且a≠1).
(3)logaa＝ (a＞0，且a≠1).负数零01答案思考 (1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？答 lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1.(2)为什么对数式x＝logaN中规定底数a>0且a≠1?答 由于对数式x＝logaN中的a来自于指数式ax＝N中的a，所以当规定了ax＝N中的a>0，且a≠1时，对数式x＝logaN中的a也受到相同的限制.(3)为什么负数和零没有对数？答 由于ax＝N>0，所以x＝logaN中的N>0.返回 题型探究 重点突破题型一 指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)54＝625；解析答案解 由54＝625，得log5625＝4.(2)log216＝4；解 由log216＝4，得24＝16.(3)10－2＝0.01；解 由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.解析答案反思与感悟1.对数式与指数式关系图：反思与感悟对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数.
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN.解析答案解析 由指对互化的关系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；
C中log24＝2?22＝4.C题型二 利用对数基本性质求值
例2 求下列各式的值：
(1)log33；解析答案解 log33＝1.(2)log51；解 log51＝0.解 解析答案解 (5)lg 1＋lg 10＋10lg 5；解 lg 1＋lg 10＋10lg 5＝0＋1＋5＝6.反思与感悟(6)ln e＋ln 1＋eln 3.解 ln e＋ln 1＋eln 3＝1＋0＋3＝4.1.常见的公式loga1＝0，logaa＝1，反思与感悟2.求logaN的值，只需将N写成ab的形式再利用公式logaab＝b去解.跟踪训练2 求值：解析答案解 解 题型三 利用对数基本性质解方程解析答案解析答案解析答案(3)log2(log5x)＝0；解 由log2(log5x)＝0得log5x＝20＝1，故x＝51＝5.(4)log3(lg x)＝1.解 由log3(lg x)＝1得lg x＝3，故x＝103＝1 000.反思与感悟应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.反思与感悟?解析答案(2)logx25＝2；
解 由logx25＝2，得x2＝25.
∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)log5x2＝2.
解 由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.忽视对数的真数大于0致误易错点解析答案例4 方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)的根为( )
A.2或－4 B.－4
C.2 D.－2或4错解 由已知得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，
解得x＝－4或x＝2.故选A.
正解 前同错解得x＝－4或x＝2.
经检验，x＝2时，－2x－1<0，x2－9<0，
与对数的真数大于0矛盾，故x＝2舍去.
所以原方程的根为x＝－4，故选B.
纠错心得 在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.解析答案∴(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0.
解得x＝－1或x＝4.
经检验，x＝－1不合题意，故舍去；x＝4是原方程的解.
∴原方程的解是x＝4.返回 当堂检测12345解析答案1.2x＝3化为对数式是( )
A.x＝log32 B.x＝log23
C.2＝log3x D.2＝logx3
解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.B123452.若log3x＝3，则x等于( )
A.1 B.3 C.9 D.27
解析 ∵log3x＝3，∴x＝33＝27.解析答案D12345答案B12345解析答案12345解析答案解析 ∵ln x＝1，∴x＝e.5.若lg(ln x)＝0，则x＝_____.e课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；
(2)
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化返回