3.4.2 对数的运算性质及换底公式
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课件35张PPT。第三章 §4 对 数第2课时 对数的运算性质及换底公式1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习?答案logaM＋logaNnlogaMlogaM－logaN思考 当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
答 不一定成立.知识点三 常用结论
由换底公式可以得到以下常用结论：
(1)logab＝ ；
(2)logab·logbc·logca＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) ＝ .答案1logablogab－logab返回 题型探究 重点突破题型一 利用对数的运算性质化简、求值解析答案解析答案解 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.反思与感悟1.对于同底的对数的化简，常用方法是
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.解析答案解 原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；解析答案题型二 利用换底公式化简、求值
例2 计算下列各式的值：
(1)lg 20＋log10025；解析答案(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
解 (log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)解析答案反思与感悟解析答案解析 (log29)·(log34)＝(log232)·(log322)
＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.D－12题型三 换底公式、对数运算性质的综合运用
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解析答案反思与感悟解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.解析答案方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.反思与感悟方法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，反思与感悟解析答案跟踪训练3 已知log147＝a，log145＝b，则log3528＝________.题型四 利用对数式与指数式的互化解题解析答案解 方法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，方法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，解析答案解 令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.反思与感悟1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于这类连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.解析答案忽视对数的限制条件致误易错点解析答案?易错警示解析答案跟踪训练5 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求 的值.解 由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得xy＝(x－2y)2，返回 当堂检测12345解析答案?A123452.lg 8＋3lg 5的值为( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125
＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.解析答案D12345C解析答案12345解析答案4.若logab·log3a＝4，则b的值为________.所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.8112345解析答案解析 因为m＝log210，n＝log510，1课堂小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).返回
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习?答案logaM＋logaNnlogaMlogaM－logaN思考 当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
答 不一定成立.知识点三 常用结论
由换底公式可以得到以下常用结论：
(1)logab＝ ；
(2)logab·logbc·logca＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) ＝ .答案1logablogab－logab返回 题型探究 重点突破题型一 利用对数的运算性质化简、求值解析答案解析答案解 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.反思与感悟1.对于同底的对数的化简，常用方法是
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.解析答案解 原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；解析答案题型二 利用换底公式化简、求值
例2 计算下列各式的值：
(1)lg 20＋log10025；解析答案(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
解 (log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)解析答案反思与感悟解析答案解析 (log29)·(log34)＝(log232)·(log322)
＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.D－12题型三 换底公式、对数运算性质的综合运用
例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解析答案反思与感悟解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.解析答案方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.反思与感悟方法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，反思与感悟解析答案跟踪训练3 已知log147＝a，log145＝b，则log3528＝________.题型四 利用对数式与指数式的互化解题解析答案解 方法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，方法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，解析答案解 令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.反思与感悟1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于这类连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.解析答案忽视对数的限制条件致误易错点解析答案?易错警示解析答案跟踪训练5 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求 的值.解 由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得xy＝(x－2y)2，返回 当堂检测12345解析答案?A123452.lg 8＋3lg 5的值为( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125
＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.解析答案D12345C解析答案12345解析答案4.若logab·log3a＝4，则b的值为________.所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.8112345解析答案解析 因为m＝log210，n＝log510，1课堂小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).返回