3.5.2 对数函数及其性质的应用
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课件32张PPT。第三章 §5 对数函数第2课时 对数函数及其性质的应用1.进一步加深理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质及其应用.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 对数型复合函数的单调性
(1)设y＝logaf(x)(a>0，a≠1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.
(2)在定义域内考虑u＝f(x)与y＝logau的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.知识点二 对数型函数的奇偶性
对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质.返回 题型探究 重点突破题型一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；解析答案解 因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9log21＝0，log0.32所以log23>log0.32.(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).解析答案解 当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
则有logaπ>loga3.14；
当0则有logaπ综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像，再进行比较.
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.反思与感悟D跟踪训练1 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b解析 a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，
∴b＜a＜c，故选D.解析答案B(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b解析 a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.解析答案解析答案题型二 对数型函数的单调性
例2 讨论函数y＝log0.3(3－2x)的单调性.∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，反思与感悟1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域.
2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.反思与感悟跟踪训练2 求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间.
解 由y＝x2－5x＋6的图像可知，函数y＝log2(x2－5x＋6)的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，令u＝x2－5x＋6，可知u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，故原函数的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).解析答案题型三 对数型复合函数的值域或最值解析答案例3 求 在区间[2,4]上的最大值和最小值.解 因为2≤x≤4，所以即设 则－2≤t≤－1，反思与感悟1.这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题.
2.注意换元时新元的范围.反思与感悟解析答案解 不等式4x－10·2x＋16≤0可化为(2x)2－10·2x＋16≤0，
即(2x－2)(2x－8)≤0.从而有2≤2x≤8，即1≤x≤3.
所以0≤log3x≤1.解析答案解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).解析答案(2)判断函数的奇偶性和单调性.反思与感悟又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.反思与感悟1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.
2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.反思与感悟解析答案解 由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立.∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立.
∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.解析答案∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2.
当a＞1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)，
∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数.
同理当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数.对数型复合函数定义域为R与值域为R区分不清致误易错点解析答案例5 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).
(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
解 若f(x)的定义域为R，
则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R，解得a>1.解析答案(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围.
解 若函数f(x)的值域为R，
则ax2＋2x＋1可取一切正实数，解得0≤a≤1.纠错心得 解这类问题容易将定义域为R与值域为R搞混淆，解题关键在于正确转化题意.规律技巧 若函数y＝logaf(x)的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，需f(x)取遍一切正数，在解题时，当最高次项系数带字母时，需注意分情况讨论.解析答案跟踪训练5 若函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，y＝lg 1，符合题意；综上，得a的取值范围是0≤a<4.返回 当堂检测12345解析答案1.已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是R上的减函数A解析 因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数.故选A.12345解析答案B2.函数y＝ln x的单调递增区间是( )
A.[e，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)解析 函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，其在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞).123453.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.a＜c＜b B.b＜c＜a
C.a＜b＜c D.b＜a＜c解析答案解析 ∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.D12345解析答案12345解析 当x≥1时，t＝ 是减函数，f(x)＝
是增函数.∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞).答案 D12345解析答案解析 令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，5.函数 的值域为____________.(－∞，－3]因为 为减函数，所以课堂小结1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.返回
2.掌握对数函数的性质及其应用.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 对数型复合函数的单调性
(1)设y＝logaf(x)(a>0，a≠1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.
(2)在定义域内考虑u＝f(x)与y＝logau的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.知识点二 对数型函数的奇偶性
对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质.返回 题型探究 重点突破题型一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；解析答案解 因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log31.9
则有logaπ>loga3.14；
当0
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像，再进行比较.
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.反思与感悟D跟踪训练1 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b解析 a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，
∴b＜a＜c，故选D.解析答案B(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.c＞a＞b解析 a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.解析答案解析答案题型二 对数型函数的单调性
例2 讨论函数y＝log0.3(3－2x)的单调性.∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，反思与感悟1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域.
2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.反思与感悟跟踪训练2 求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间.
解 由y＝x2－5x＋6的图像可知，函数y＝log2(x2－5x＋6)的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，令u＝x2－5x＋6，可知u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，故原函数的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).解析答案题型三 对数型复合函数的值域或最值解析答案例3 求 在区间[2,4]上的最大值和最小值.解 因为2≤x≤4，所以即设 则－2≤t≤－1，反思与感悟1.这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题.
2.注意换元时新元的范围.反思与感悟解析答案解 不等式4x－10·2x＋16≤0可化为(2x)2－10·2x＋16≤0，
即(2x－2)(2x－8)≤0.从而有2≤2x≤8，即1≤x≤3.
所以0≤log3x≤1.解析答案解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).解析答案(2)判断函数的奇偶性和单调性.反思与感悟又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数.反思与感悟1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.
2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.反思与感悟解析答案解 由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立.∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立.
∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.解析答案∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2.
当a＞1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)，
∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数.
同理当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数.对数型复合函数定义域为R与值域为R区分不清致误易错点解析答案例5 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).
(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
解 若f(x)的定义域为R，
则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R，解得a>1.解析答案(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围.
解 若函数f(x)的值域为R，
则ax2＋2x＋1可取一切正实数，解得0≤a≤1.纠错心得 解这类问题容易将定义域为R与值域为R搞混淆，解题关键在于正确转化题意.规律技巧 若函数y＝logaf(x)的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，需f(x)取遍一切正数，在解题时，当最高次项系数带字母时，需注意分情况讨论.解析答案跟踪训练5 若函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，y＝lg 1，符合题意；综上，得a的取值范围是0≤a<4.返回 当堂检测12345解析答案1.已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是R上的减函数A解析 因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数.故选A.12345解析答案B2.函数y＝ln x的单调递增区间是( )
A.[e，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)解析 函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，其在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞).123453.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A.a＜c＜b B.b＜c＜a
C.a＜b＜c D.b＜a＜c解析答案解析 ∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.D12345解析答案12345解析 当x≥1时，t＝ 是减函数，f(x)＝
是增函数.∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞).答案 D12345解析答案解析 令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，5.函数 的值域为____________.(－∞，－3]因为 为减函数，所以课堂小结1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.返回