3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

课件28张PPT。第三章　指数函数和对数函数§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义.
2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一　三种函数模型的性质
1.当a＞1时，
指数函数y＝ax在R上是增函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；
当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数.
2.幂函数y＝xα，当α＞0时，在(0，＋∞)上是增函数.知识点二　三种函数的增长趋势
当a＞1时，指数函数y＝ax是 ，并且当a越大时，其函数值的增长就 .
当a＞1时，对数函数y＝logax是 ，并且当a越小时，其函数值的增长就 .
当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是 ，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就 .答案增函数越快增函数越快增函数越快知识点三　三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a＞1)增长最慢，幂函数y＝xn(n＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有 .答案ax＞xn＞logax返回 题型探究 重点突破解析答案D解析答案(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________.反思与感悟解析　以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
答案　y2反思与感悟在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.解析答案解析　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2 014·2x的增长速度最快.故选D.D题型二　几种函数模型的比较
例2　某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：解析答案(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：
y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，
y＝a·bx，y＝alogax.解　由表格中数据可知，种植成本不是常函数，
∴a≠0，而此时y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝alogax均为单调函数，∴描述西红柿种植成本y与上市时间x的关系为解析答案(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本.
解　当x＝150时，ymin＝100(元/102kg).反思与感悟1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.
2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.解析答案跟踪训练2　某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解析答案解　建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误易错点解析答案例3　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为________.解析　四个函数的图像如图所示，根据图像易知，③④⑤正确.答案　③④⑤
纠错心得　解决这类问题可以作出图像，根据图像特征使问题得解.解析答案返回跟踪训练3　下面对函数 与 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快返回解析　函数 与 在区间
(0，＋∞)上的大致图像如图所示.观察图像，可知函数f(x)的图像在区间(0,1)上衰减较快，
但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，
且衰减速度越来越慢.同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h(x)的图像在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.
答案　C 当堂检测12345解析答案1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(　　)
A.y＝3x B.y＝log3x
C.y＝x3 D.y＝3x
解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.D12345解析答案2.当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快.
其中正确的结论是(　　)
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④B12345解析答案3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图像大致为D中图像.D123454.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　)
A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x解析　方法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
方法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.B解析答案123455.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为
_______________________.解析答案解析　设解析式为y＝kx＋b，课堂小结三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.返回