4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

课件34张PPT。第四章　§1　函数与方程1.1　利用函数性质判定方程解的存在1.了解函数的零点与方程的根的关系.
2.会判断函数零点的存在性.
3.初步理解函数与方程思想.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一　函数的零点
定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点.
思考　函数的零点是点吗？
答　函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数.答案横坐标知识点二　函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与 有交点?函数y＝f(x)
.
知识点三　函数零点存在性的判断
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 ，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x) 零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.x轴有零点答案f(a)·f(b)＜0至少有一个返回 题型探究 重点突破题型一　求函数的零点
例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；解析答案解　解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；解　解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，
所以函数的零点是－1.(3)f(x)＝2x－1－3；解析答案解　解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.所以函数的零点为－6.反思与感悟求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪训练1　函数y＝x－1的零点是(　　)
A.(1,0) B.0
C.1 D.不存在解析答案解析　令y＝x－1＝0，得x＝1，故函数y＝x－1的零点为1.C题型二　判断函数零点所在区间
例2　已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是(　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
解析　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.
∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内.解析答案C反思与感悟1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.C跟踪训练2　函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)解析　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点.解析答案解析答案题型三　判断函数零点的个数
例3　判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.反思与感悟解析答案解　方法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图像交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图).由图像知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图像只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
方法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，反思与感悟f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.反思与感悟判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪训练3　函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.0 D.不能确定解析答案解析　如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图像，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.B解析答案题型四　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题
例4　关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围.反思与感悟解析答案解　方法一　(应用求根公式)
方程x2－2ax＋4＝0的两根为方法二　(应用根与系数的关系)
设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，
则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4. ①
要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，反思与感悟方法三　(应用二次函数的图像)设f(x)＝x2－2ax＋4，图像如图所示.反思与感悟1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向.
2.设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.解析答案跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(－4，－2)，求a的取值范围.解　∵f(x)＝ax2＋2ax＋1的图像是连续的且两点x1，x2满足x2∈(－4，－2)，
x1∈(0,1).解析答案数形结合思想解题思想方法例5　已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________.解析　如图所示，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，反思与感悟则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.1求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解.跟踪训练5　当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？
解　令f(x)＝x2－4|x|＋5，作出其图像，如图所示，解析答案由图像可知，当1A.方程f(x)＝0一定有实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实数解
D.方程f(x)＝0可能无实数解解析　∵函数f(x)的图像在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.D12345解析答案3.根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)A.(－1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)12345解析　设f(x)＝ex－x－2，
∵f(1)＝2.78－3＝－0.22<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，
∴f(1)f(2)<0.
由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)内.
答案　C123454.方程2x－x2＝0的解的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4解析答案解析　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图像有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.C12345解析答案5.已知函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为_________.解析　由题意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.(－∞，2)课堂小结1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.返回