4.1.2 利用二分法求方程的近似解

课件26张PPT。第四章　§1　函数与方程1.2　利用二分法求方程的近似解1.能用二分法求出方程的近似解.
2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一　二分法的定义
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.
思考　所有的函数都可以用二分法求零点吗？
答　用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值.答案中点知识点二　用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈ ).
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).答案f(a)·f(b)＜0c(a，c)(c，b)|a－b|＜ε返回 题型探究 重点突破题型一　二分法概念的理解
例1　下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)解析答案反思与感悟解析　按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.
答案　A反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1　下列函数中，能用二分法求零点的为(　　)解析答案解析　函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B选项符合.B题型二　用二分法求方程的近似解
例2　(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确到0.1)是________.解析答案解析　由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，
所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，
又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，
所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.1.5(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解析答案反思与感悟解　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，
f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：解析答案反思与感悟由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图像确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2　用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解析答案解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.解析答案忽视给定区间造成失误易错点例3　函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3错解　由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.
正解　前同错解得x1＝－3，x2＝1.
因为－3?[－1,2]，1∈[－1,2]，
所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.
纠错心得　求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.解析答案忽视二次项系数为零致误易错点例4　已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1，若f(x)的图像与x轴只有一个交点，求m值.错解　∵f(x)的图像与x轴只有一个交点，正解　当m－1＝0，即m＝1时，f(x)＝－4x＋1，
满足函数图像与x轴只有一个交点.
当m－1≠0，即m≠1时，函数图像与x轴只有一个交点等价于方程2(m－1)x2－4mx＋2m－1＝0有两个相等的实数根，纠错心得　当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.解析答案跟踪训练3　已知方程mx2－x－1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是__________.解析　设函数f(x)＝mx2－x－1，
因为方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，
所以当m＝0时，方程－x－1＝0在(0,1)内无解，
当m≠0时，由f(0)f(1)<0，
即－(m－1－1)<0，解得m>2.(2，＋∞)返回 当堂检测123451.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是(　　)B答案12345答案2.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3，＋∞)B12345解析答案3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A.[－2,1] B.[－1,0]
C.[0,1] D.[1,2]解析　∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.A123454.函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为(　　)
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能确定解析答案解析　由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).A12345解析答案5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.解析　f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).(2,2.5)课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.返回