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第七章 平面直角坐标系7.2.2 用坐标表示平移
1、什么叫做平移？
复习导入
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。
2、平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
平移后图形的位置改变，形状、大小不变。
如图,将点A(－2, －3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标.把点A向左平移2个单位呢
x
y
O
1
2
3
4
2
4
1
3
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
5
-6
A1
(3,－3)
A
(－2,－3)
A2
(－4,－3)
(－2,－3)
右平移5个单位
(3,－3)
横坐标加5
(－2,－3)
左平移2个单位
(－4,－3)
横坐标减2
探究新知
如图,将点A(－2, －3)向上平移6个单位长度,得到点A3,在图上标出这个点,并写出它的坐标.把点A向下平移4个单位呢
x
y
O
1
2
3
4
2
4
1
3
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
5
-6
A
(－2,－3)
A3
(－2,3)
A4
(－2,－7)
(－2,－3)
上平移6个单位
(－2, 3)
纵坐标加6
(－2,－3)
下平移4个单位
(－2,－7)
纵坐标减4
探究新知
(1)左、右平移：
向右平移a个单位
(2)上、下平移：
点(x,y)
向左平移a个单位
点(x,y)
(x+a,y)
(x-a,y)
向上平移b个单位
点(x,y)
向下平移b个单位
点(x,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
总结规律:点的平移与点的坐标变化间的关系
探究新知
口 诀
上下平移
左右平移
上加下减横不变
左减右加纵不变
1.在平面直角坐标系中，有一点P（-3，5），若将点P：
(1)向左平移3个单位长度，所得点的坐标为__________；
(2)向右平移5个单位长度，所得点的坐标为___________；
(3)向下平移3个单位长度，所得点的坐标为___________；
(4)向上平移4个单位长度，所得点的坐标为____________；
（-6，5）
（2，5）
（-3, 2）
（-3，9）
练一练
1、点C1 (x+3,y)可以看作将点C(x,y)向 平移 个单位得到的。
2、点C2 (x-5,y)可以看作将点C(x,y)向 平移 个单位得到的。
3、点D1 (x,y+6)可以看作将点D(x,y)向 平移 个单位得到的。
4、点D2 (x,y-4)可以看作将点D(x,y)向 平移 个单位得到的。
左
3
左
5
上
6
下
逆向说理：
4
练一练
如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，4），B（-2，3），C（-1，3），D（-1，4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H．
（1）点E，F，G，H的坐标分别是什么？如果我们直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？
”
探究新知
总结：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
探究新知
解：点E，F，G，H的坐标分别是：（6，-3），（6，-4），（7，-4），（7，-3）．
经过平移，可以得出直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，同样可以得出上面平移的位置。
例、如图， △ ABC三个顶点的坐标A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（1）将三角形ABC三个顶点的
横坐标都减去6，纵坐标不变
（2）依次连接A1，B1，C1，各
点，得到三角形A1B1C1
猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状和位置上有什么关系，为什么？
则有A1 , B1 , C1 。
(-2,3)
(-3,1)
(-5,2)
-3 -2 -1 1 2 3 4 x
3
2
1
-2
-1
-3
4
y
A
B
C
-5
-4
A1
B1
C1
(4,3)
(1,2)
(3,1)
(-2,3)
(-3,1)
(-5,2)
例题讲解
△ A1B1C1与△ABC的大小、 形状完全相同， △ A1B1C1 可以看作将△ABC向左平移6个单位得到。
将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变。
2
3
A2
C2
B2
1
A
C
B
A
C
B
4
x
-
3
y
1
-
1
-
2
-
4
1
2
-
1
-
2
-
3
-
4
0
猜想: △ A2B2C2与△ ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
A(4,3) B(3,1) C(1,2)
A2(4,-2)
B2(3,-4)
C2(1,-3)
例题讲解
△ A2B2C2与△ ABC的大小、形状完全相同，△ A2B2C2 可以看作将△ABC向下平移5个单位得到。
思考：将△ABC三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，纵坐标都加2，横坐标不变，会有怎样的变化？
(1)如图，△A2B2C2 是△ABC向右平移得到的。
A
C
B
A2
C2
B2
A3
C3
B3
(2)如图，△A3B3C3 是△ABC向右平移得到的。
探究新知
图形向上（或下）平移b个单位长度，也就是将图形上的点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）（或（x,y-b））。
总结：在平面直角坐标系中：（图形的平移找特殊点）
图形向右（或左）平移a个单位长度，也就是将图形上的点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点 （x+a,y）（或（x-a,y））；
探究新知
（3）将△ABC三个顶点的横坐标都减 6，纵坐标减5，得到的坐标是多少？
①
②
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
x
y
1
2
3
4
-
2
1
2
-
1
-
5
-
3
-
1
-
2
0
-
3
-
4
-
4
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
1
C
1
B
1
A
1
C
1
B
1
A
1
C
1
B
1
A
3
C
3
B
3
A
1
C
1
B
1
A
1
C
1
B
1
1
2
3
探究新知
A3(-2,-2)
B3(-3,-4)
C3(-5,-3)
猜想: △ A3B3C3与△ ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
△ A2B2C2与△ ABC的大小、形状完全相同，△ A3B3C3 可以看作将△ABC先向左平移6个单位，再向下平移5个单位得到。
向下平移b个单位( )
上、下、左、右平移：
向右平移a个单位
原图形上的点(x,y),
向左平移a个单位
x+a, y+b
x-a, y-b
向上平移b个单位( )
原图形上的点(x,y) ，
归纳
探究新知
例、将点A(1，m)向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到点Q(n，3)，m，n的值分别为多少？
例题讲解
解：由题意得：1+2=n，m+1=3
解得：n=3，m=2
已知线段MN=4，MN//x轴，若点M坐标为(-1,2)，则N点坐标是多少？
解：由题意设点N（-1，y），
∵已知线段MN=4，M坐标为（-1，2），
∴y-2=4，或y-2=-4，
解得y=6或y=-2，
即点N坐标（-1，-2），（-1，6）．
例题讲解
1．将点P(m+2，2m+4)向右平移1个单位长度得到点P′，且P′在y轴上，那么P′的坐标是( )
A．(-2，0) B．(0，－2)
C．(1，0) D．(0，1)
2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位，所得到的点的坐标是( )
A．(1，3) B．(2，2)
C．(2，4) D．(3，3)
B
C
随堂练习
3．如图，将三角形PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是( )
A．(－2，－4) B．(－2，4)
C．(2，－3) D．(－1，－3)
A
随堂练习
4．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是 ，A1的坐标是 ．
5．已知△ABC，A(-3，2)，B(1,1)，C(-1，-2)，现将△ABC平移，使点A到点(1,2)的位置上，则点B，C的坐标分别为 ， ．
（4，3）
（3，0）
（5，-3）
随堂练习
（3，-6）
6．如图所示，一小船，将其向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A，B，C，D，E，F，G平移后对应点的坐标并画出平移后的图形．
随堂练习
解：由A(1，2)，B(3，1)，C(4，1)，D(5，2)，E(3，2)，F(3，4)，G(2，3)可得平移后对应点为：
A′(－5，－3)，B′(－3，－4)，C′(－2，－4)，D′(－1，－3)，E′(－3，－3)，F′(－3，－1)，G′(－4，－2)．平移后的图形如图所示．
随堂练习
1．如图，三角形ABC内任意一点P(x0，y0)，将三角形ABC平移后，点P的对应点为P1(x0＋5，y0－3)．
(1)写出将三角形ABC平移后，三角形ABC中A，B，C分别对应的点A1，B1，C1的坐标，并画出三角形A1B1C1；
(2)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1(5，3)，写出M点的坐标 ，若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是 ．
（0，6）
平行且相等
拓展延伸
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0，n>0)，得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
拓展延伸
拓展延伸
解：易知AB＝6，A′B′＝3，
∴a＝.
由(－3)×＋m＝－1，得
m＝.
由0×＋n＝2，得n＝2.
设F(x，y)，变换后F′(ax＋m，ay＋n)．
∵F与F′重合，
∴ax＋m＝x，ay＋n＝y.
∴x＋＝x，y＋2＝y.
解得x＝1，y＝4.∴点F的坐标为(1，4)．
1.平移变换坐标的特点：
x轴（横坐标）：向右平移（x+a,y);向左平移（x-a,y)
y轴（纵坐标）：向上平移（x,y+a);向下平移（x,y-a)
口诀：右加左减，上加下减
2.平移只改变物体的位置，大小和形状不变，所以图形的平移找特殊点
课堂小结7.2.2 用坐标表示平移
教学目标
1．掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程．21教育网
2．发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识．
3．用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用．
4．培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力，体会使复杂问题简单化．
重点、难点
重点: 掌握坐标变化与图形平移的关系
难点: 利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题.
教学过程
1、 复习
1、什么叫做平移？
2、平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
设计意图：复习以前学过的平移知识，从而引出课题：用坐标表示平移。
二、探究新知
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图,将点A(－2, －3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出这个点,并写出它的坐标.把点A向左平移2个单位呢 21cnjy.com
如图,将点A(－2, －3)向上平移6个单位长度,得到点A3,在图上标出这个点,并写出它的坐标.把点A向下平移4个单位呢 2-1-c-n-j-y
观察他们的变化，你能从中发现什么规律吗？
总结规律:点的平移与点的坐标变化间的关系
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（ ( http: / / www.21cnjy.com )或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（，））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（，））．【来源：21cnj*y.co*m】
设计意图：通过让学生观察、思考、概括的一系 ( http: / / www.21cnjy.com )列逆向思维的心理操作的过程来培养学生的逆向思维；同时让学生理解并掌握坐标平移的规律，也增强了学生的表达能力和概括能力
如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )（-2，4），B（-2，3），C（-1，3），D（-1，4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H．21*cnjy*com
（1）点E，F，G，H的坐标分别是什么？
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总结：
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
对一个图形进行平移，这个图 ( http: / / www.21cnjy.com )形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图示上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
设计意图：通过让学生观察、思考、合作交 ( http: / / www.21cnjy.com )流和归纳等过程来培养学生的动手操作能力和合作的能力；同时让学生理解并掌握图形平移的规律，也增强了学生的表达能力和概括能力。
( http: / / www.21cnjy.com / )
总结：上、下、左、右平移：
原图形上的点(x,y), 向右平移a个单位 向上平移b个单位( )
原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位向下平移b个单位( )
设计意图：通过让学生观察、思考、和 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳等过程来培养学生的动手操作能力、概括能力、表达能力和逆向思维的养成；同时让学生理解并掌握图形平移的规律21教育名师原创作品
三、例题讲解
例1、如图（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标后减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？21·cn·jy·com
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5 ( http: / / www.21cnjy.com )，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？思考：将△ABC三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，纵坐标都加2，横坐标不变，会有怎样的变化？【版权所有：21教育】
引导学生动手操作，按要求画出图形后，解答此例题．并且总结出规律
总结：在平面直角坐标系中：（图形的平移找特殊点）
图形向右（或左）平 ( http: / / www.21cnjy.com )移a个单位长度，也就是将图形上的点（x,y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点 （x+a,y）（或（x-a,y））；21*cnjy*com
图形向上（或下）平移b个 ( http: / / www.21cnjy.com )单位长度，也就是将图形上的点（x,y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x,y+b）（或（x,y-b））。
再进一步设问：（3）将△ABC三个顶点的横坐标都减 6，纵坐标减5，得到的坐标是多少？
猜想: △ A3B3C3与△ ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
学生利用刚才的经验，可以归纳出上、下、左、右平移：
原图形上的点(x,y), 向右平移a个单位，向上平移b个单位(x+a，y+b )
原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位，向下平移b个单位( x-a，y-b )
例2、将点A(1，m)向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到点Q(n，3)，m，n的值分别为多少？
变式：
已知线段MN=4，MN//x轴，若点M坐标为(-1,2)，则N点坐标是多少？
学生思考解答。
设计意图：通过让学生观察图形、思考例题 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳等过程来培养学生的动手操作能力、概括能力、表达能力和逆向思维的养成；同时让学生理解并掌握图形平移的规律
五、随堂练习
1．将点A(2，1)向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是(D)
A．(2，3) B．(2，－1)
C．(4，1) D．(0，1)
2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位，所得到的点的坐标是(C)
A．(1，3) B．(2，2)
C．(2，4) D．(3，3)
3、如图，将三角形PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)
A．(－2，－4) B．(－2，4)
C．(2，－3) D．(－1，－3)
4、在平面直角坐标系中，已知点O(0， ( http: / / www.21cnjy.com )0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是 ，A1的坐标是 ．www.21-cn-jy.com
5．将点A(－3，1)向右平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，可以得到对应点A′的坐标为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
6、如图所示，一小船，将其向左平移 ( http: / / www.21cnjy.com )6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A，B，C，D，E，F，G平移后对应点的坐标并画出平移后的图形．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
设计意图：通过加分的形式，激发学生学习的 ( http: / / www.21cnjy.com )积极性。让学生掌握平面直角坐标系内图形平移的规律和会利用平面直角坐标系内图形平移的规律对图形进行平移。进一步巩固所学知识，及时发现和解决学生存在的问题；同时培养了学生养成动脑、动手、和合作交流的习惯.
六、拓展延伸
1、如图，三角形ABC内任意一点P(x0，y0)，将三角形ABC平移后，点P的对应点为P1(x0＋5，y0－3)．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)写出将三角形ABC平移后，三角形ABC中A，B，C分别对应的点A1，B1，C1的坐标，并画出三角形A1B1C1；
(2)若三角形ABC外有一点M经过同 ( http: / / www.21cnjy.com )样的平移后得到点M1(5，3)，写出M点的坐标(0，6)，若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是平行且相等．21世纪教育网版权所有
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，对 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0，n>0)，得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．2·1·c·n·j·y
设计意图：这个环节是巩固本课知 ( http: / / www.21cnjy.com )识点，通过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
七、课堂小结
1.平移变换坐标的特点：
x轴（横坐标）：向右平移（x+a,y);向左平移（x-a,y)
y轴（纵坐标）：向上平移（x,y+a);向下平移（x,y-a)
口诀：右加左减，上加下减
2.平移只改变物体的位置，大小和形状不变，所以图形的平移找特殊点
设计意图：通过共同小结使学生归纳、梳理 ( http: / / www.21cnjy.com )总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知识储备.21·世纪*教育网
八、教学反思
在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结 ( http: / / www.21cnjy.com )，和学生一起从原有的有理数的基础，添加无理数，总结出实数的分类．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值
参考答案
随堂练习
1、D 2、C 3、A
4、（3，0）(4,3)
5、(2,7)
6、解：由A(1，2)，B(3，1)，C(4，1)，D(5，2)，E(3，2)，F(3，4)，G(2，3)可得平移后对应点为：
A′(－5，－3)，B′(－ ( http: / / www.21cnjy.com )3，－4)，C′(－2，－4)，D′(－1，－3)，E′(－3，－3)，F′(－3，－1)，G′(－4，－2)．
平移后的图形如图所示．
拓展延伸
解：1、(1) 由图，A1(2，－1)，B1(1，－5)，C1(5，－6)．三角形A1B1C1如图
(2)(0，6) ；平行且相等
2、解：易知AB＝6，A′B′＝3，
∴a＝.
由(－3)×＋m＝－1，得
m＝.
由0×＋n＝2，得n＝2.
设F(x，y)，变换后F′(ax＋m，ay＋n)．
∵F与F′重合，
∴ax＋m＝x，ay＋n＝y.
∴x＋＝x，y＋2＝y.
解得x＝1，y＝4.∴点F的坐标为(1，4)．
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