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【解题秘籍】
一次函数中的特殊四边形的点坐标确定问题
一、例题引入
例1 类型：已知3个点确定第4个点的坐标
（2016春 惠安县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．21*cnjy*com
（1）求点D的坐标；
（2）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
【说明】先给出第（2）题的一般解法，再给出运用【简便】的方法。
【解答】解：（1）设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，
∴2=m﹣2，∴m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；
【一般解法】
（2）当y=0时，x﹣2=0，
解得x=2，
∴OE=2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM=CD=3，
∴OM=EM﹣OE=3﹣2=1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM=CD=3，
OM=OE+EM=2+3=5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则=，=2，
解得x=3，y=4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
【点评】一般解法中，采用几何中的方法，运用中心坐标及中点坐标公式做，做起来有些复杂，而且中点坐标公式在初中阶段是没有学过的，所以这样做的方法不可取，下面给出简便的方法，并且做这类题，下面的简便方法都适用。
【简便解法】
（2）当y=0时，x﹣2=0，解得x=2，∴E（0,2），
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，D（1,2）、C（4,2）、E（2,0），
∴①当CD//ME时，
若C与E对应，M点的横坐标是：1+（2-4）=-1，纵坐标是：2+（0-2）=0，则M（-1,0）
若D与E对应，M点的横坐标是：4+（2-1）=5，纵坐标是：2+（0-2）=0，则
M（5，0）；
②当CE//DM时，
若C与D对应，M点的横坐标是：2+（1-4）=-1，纵坐标是：0+（2-2）=0，则M（-1,0）
若E与D对应，M点的横坐标是：4+（1-2）=3，纵坐标是：2+（2-0）=4，则M（3,4）；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
【点评】（1）简便方法中运用平移的知识，正好是《七下人版教材中的第7章 平面直角坐标系的内容》，讲的是在坐标平面中线段平移后的坐标变化，主要用到的是“（左-，下-）和（右+，上+）”，以及线段平移中前后相对应的点的坐标变化相同。（2）注意一般找第4个点时最多有3种情况，要注意看题目还有没有其他限制条件。21世纪教育网版权所有
二、解题秘籍
【秘籍·知识点回顾】
一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。21·cn·jy·com
如下图，AB经过平移与CD重合，A与C对应，B与D对应，它们的平移过程相同，根据平移的性质可知，AB//CD，且AB=CD，连接AC，BD，则四边形ABDC是平行四边形。
所以可以根据这个方法去找平行四边形的第四个点的坐标！
【秘籍再说明】
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，D（1,2）、C（4,2）、E（2,0），
∴①当CD//ME时，
【说明：看作CD经过平移与ME重合】
若C与E对应，M点的横坐标是：1+（2-4）=-1，纵坐标是：2+（0-2）=0，则M（-1,0）
【说明：由CD平移到EM，C与E对应，可以求出横（2-4）、纵（0-2）的平移规则，从而根据D的坐标求出M点的坐标】www.21-cn-jy.com
若D与E对应，M点的横坐标是：4+（2-1）=5，纵坐标是：2+（0-2）=0，则
M（5，0）；
【说明：由CD平移到ME，D与E对应，可以求出横（2-1）、纵（0-2）的平移规则，从而根据C的坐标求出M点的坐标】21cnjy.com
②当CE//DM时，
若C与D对应，M点的横坐标是：2+（1-4）=-1，纵坐标是：0+（2-2）=0，则M（-1,0）
若E与D对应，M点的横坐标是：4+（1-2）=3，纵坐标是：2+（2-0）=4，则M（3,4）；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
【简化过程】
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，D（1,2）、C（4,2）、E（2,0），
所以M的坐标有
横：1+（2-4）=-1，纵：2+（0-2）=0，则（-1,0）；
横：4+（2-1）=5，纵：2+（0-2）=0，则（5，0）；
横：2+（1-4）=-1，纵：0+（2-2）=0，则（-1,0）
横：4+（1-2）=3，纵：2+（2-0）=4，则（3,4）；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
【方法总结】
A（a,b），B(c,d)，C(e,f)三个点，找第四个点构造平行四边形的坐标设为（x,y）
x=a+(c-e),y=b+(d-e)
练习· 掌握秘籍
1.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 .
2．点P（2，-3）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′的坐标是 .2·1·c·n·j·y
3．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′（点A的对应点为点A′），若点A′的坐标为（-2，2），则点B′的坐标为 ．
4．线段AB是由线段CD平移得到，点A（-2，1）的对应点为C（1，1），则点B（3，2）的对应点D的坐标是 ．
5．在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D的坐标应为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
6．若A、B、C、D四点构成平行四边形A（2，1）、B（-3，1）、C（-2，-1），则顶点D的坐标为 ．www-2-1-cnjy-com
参考答案：
1．（2，2）
2．（-2，-2）
3．（3，4）
4（6，2）
5．（4，2）或（-2，2）或（2，-2）
6．（3，1）或（1，1）或（-5，-3）
例2 类型：已知2个点，第3个点是动点，再确定第4个点的坐标
17．（2016春 福州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．
（1）填空：b= ；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．2-1-c-n-j-y
【解答】解：（1）把（4，0）代入y=﹣x+b，得：﹣3+b=0，解得：b=3，故答案是：3；
（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，又∵直角△OAB中，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA，∴AE=OB=3，DE=OA=4，
∴OE=4+3=7，∴点D的坐标为（7，4）；
【一般解法】
（3）存在．
①如图2，当OM=MB=BN=NM时，四边形OMBN为菱形．
则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标是，
把y=代入y=﹣x+4中，得x=2，即M的坐标是（2，），
则点N的坐标为（﹣2，）．
②如图3，当OB=BN=NM=MO=3时，四边形BOMN为菱形．
∵ON⊥BM，
∴ON的解析式是y=x．
根据题意得：，
解得：．
则点N的坐标为（，）．
【点评】第②个解法中，用了“两个一次函数的系数之积为-1时，这两条直线的互相垂直”这样的知识，这个知识初中阶段是不学的。21教育网
【简便解法】
（3）存在．
①如图2，解法同上，点N的坐标为（﹣2，）．
②如图3，当OB=BN=NM=MO=3时，四边形BOMN为菱形，
设M（a,﹣a+3），因为OM=3，则a2+（﹣a+3）2=9，
化简得 解得，则M（）
这时以BM为对角线，所以有OM//BN，
因为O（0,0）向上平移3，得到B（0,3）；
所以M（）向上平移3，得到N（）.
【点评】解这类题，因为第3个点是动点，所以要先确定第3个点的坐标，然后根据平移的性质找出相应的第4个点；还要注意题中对N的限定条件，“N是在x轴的上方”，在一般情况下，其他三个点都是唯一的时候，第4个点有3种情况，如果题中有限定条件，要排除相应不符合条件的！21·世纪*教育网
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【解题秘籍】巩固练习
1．（2016秋 林甸县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．
（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2016春 自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2016春 洛江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=x交于点A．
（1）点A的坐标是 ；点B的坐标是 ；点C的坐标是 ；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2016春 启东市期末）已知：如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A作匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求出S关于t的函数关系式．
（3）若点M是y轴上任意一点，点N是坐标平面内任意一点，若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．
5．（2016春 泉州期末）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b= ；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2016春 天津期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点4 （1，﹣3 ），B （2，0）
（Ⅰ）求这个一次函数的解析式；
（Ⅱ）若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①请直接写出所有符合条件的C点坐标；
②如果以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点C的坐标．
7．（2016春 双城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A，B，且点A坐标为（8，0），点C为AB的中点．
（1）求点B的坐标．
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数解析式（请直接写出自变量m的取值范围）
（3）当点P在线段AB（点M不与A，B重合）上运动时，在坐标系第一象限内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形，存在求出N点坐标，不存在说明理由．
8．（2016春 松江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2016春 张家港市期末）如图，直线l1：y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y=kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2016春 广水市期末）已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（12，0）、点B，与函数y=x的图象交于点E，点E的横坐标为3，求：
（1）直线AB的解析式；
（2）在x轴有一点F（a，0）．过点F作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和函数y=x于点C、D，若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值．
11．（2016春 深圳期末）如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的直线y=﹣x+b与x轴交于点B．21·世纪*教育网
（1）b的值为 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形ABEC是平行四边形；21教育名师原创作品
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（2016秋 哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在四边形OABC中，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（9，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动（点P不与点B重合），过P作PH⊥x轴，垂足为H，直线HP交直线BC于点Q，设PQ的长度为d，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，在y轴和直线BC上分别找一点M和N，当四边形PQMN为菱形时，求点M的坐标．
13．（2016春 兴化市校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B的直线y=x+m与x轴交于点C．
（1）求直线l的解析式及点C的坐标．
（2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点．
①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
14．（2016春 齐齐哈尔校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C在坐标轴上，∠ACB=90°，OC，OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OC＜OB．21cnjy.com
（1）求点A，B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，把△ABC分成面积相等的两部分，求直线CE的解析式；
（3）在平面内是否存在点M，使以点B、C、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2015 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．【出处：21教育名师】
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．（2016秋 林甸县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．
（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，OA=2，∠CAO=30°，
则OC =2，
即点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，将点A及点C的坐标代入得：，
解得：，
故直线AC的函数表达式为：y=x+2．
（2）过点D作DE⊥OA于点E，
∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2，
∴DE=3，AE=，
∴OE=，
故点D的坐标为（﹣，3）．
（3）
A=（-2，0），O（0，0），D（﹣，3）．
所以P的坐标有
横：-2+（0+）=﹣，纵：0+（0-3）=-3，则（﹣，﹣3）；
横：-2+（﹣-0）=-3，纵：0+（3-0）=-3，则（﹣3，3）；
横：0+（-2+）=﹣，纵：0+（0-3）=-3，则（﹣，﹣3）；
横：0+（-+2）=，纵：0+（3-0）=3，则（，3）。
综上可得存在点P的坐标，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，3）或（﹣，﹣3）或（﹣3，3）．www-2-1-cnjy-com
2．（2016春 自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=﹣x+6．
（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．2-1-c-n-j-y
3．（2016春 洛江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=x交于点A．【版权所有：21教育】
（1）点A的坐标是 ；点B的坐标是 ；点C的坐标是 ；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线l1：y=﹣x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3）；
故答案为：（6，3）；（12，0）；（0，6）；
（2）设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，
把C（0，6），D（4，2）代入得：，
解得：，
则直线CD解析式为y=﹣x+6；
（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时Q1P1=OP1=OC=6，即Q1（6，6）；
（ii）当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到Q2纵坐标为3，
把y=3代入直线OQ2解析式y=﹣x中，得：x=﹣3，此时Q2（﹣3，3）；
（iii）当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，此时Q3（3，﹣3），
综上，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．
4．（2016春 启东市期末）已知：如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A作匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求出S关于t的函数关系式．
（3）若点M是y轴上任意一点，点N是坐标平面内任意一点，若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵由已知，解得，
∴P点坐标（2，2）；
（2）∵直线y=﹣x+4中，当y=0时，x=4，
∴OA=4，
∴S=（OA﹣t）×2=（4﹣t）×=4﹣t（0≤t＜4）；
（3）如图，当OP为平行四边形的边时，
∵P（2，2），
∴OP==4，
∴N1（2，2﹣4），N2（2，2+4），N3（﹣2，2）；
当OP为对角线时，设M（0，a），
则MP=a，即22+（2﹣a）2=a2，解得a=，
∴N点的纵坐标=2﹣=，
∴N4（2，）．
综上所示，N点坐标为N1（2，2﹣4），N2（2，2+4），N3（﹣2，2），N4（2，）．
5．（2016春 泉州期末）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．
（1）b= ；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在直线y=﹣x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）一次函数y=﹣x+b的图象过点A（0，3），
3=﹣0+b，
解得b=3．
故答案为：3；
（2）证明：过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，
∴∠M=∠N=∠O=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．
∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在△OBE和△PDC中，
，
∴△OBE≌△PDC（SAS），
BE=DC．
在△MBC和△NDE中，
，
∴△MBC≌△NDE（SAS），
DE=BC．
∵BE=DC，DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（3）设P点坐标（x，y），
当△OBE≌△MCB时，四边形BCDE为正方形，
OE=BM，
当点P在第一象限时，即y=x，x=y．
P点在直线上，
，
解得，
当点P在第二象限时，﹣x=y
，
解得
在直线y=﹣x+b上存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．
6．（2016春 天津期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点4 （1，﹣3 ），B （2，0）
（Ⅰ）求这个一次函数的解析式；
（Ⅱ）若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①请直接写出所有符合条件的C点坐标；
②如果以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点C的坐标．
【解答】解：
（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
由图象过A、B两点可得，解得，
∴一次函数解析式为y=3x﹣6；
（2）①∵A（1，﹣3）、B（2，0），
∴OA==，OB=2，AB==，
当OA为对角线时，如图1，过A作AC∥OB，连接OC，
∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AC=OB=2，
∴C（﹣1，﹣3）；
当AB为对角线时，同上可求得C点坐标为（3，﹣3）；
当OB为对角线时，连接AC交OB于点D，如图2，
∵OA=AB=，
∴当四边形ABCO为平行四边形时，则四边形ABCO为菱形，
∴AC垂直平分OB，
∴C点坐标为（1，3）；
综上可知C点坐标为（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）或（1，3）；
②由①可知当四边形为菱形时，由OA=AB，
∴OB为对角线，
∴此时C点坐标为（1，3）．
7．（2016春 双城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A，B，且点A坐标为（8，0），点C为AB的中点．
（1）求点B的坐标．
（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数解析式（请直接写出自变量m的取值范围）21世纪教育网版权所有
（3）当点P在线段AB（点M不与A，B重合）上运动时，在坐标系第一象限内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形，存在求出N点坐标，不存在说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+b过点A（8，0），
∴0=﹣6+b，解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．
令y=﹣x+6中x=0，则y=6，
∴点B的坐标为（0，6）．
（2）依照题意画出图形，如图3所示．
∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点，
∴C（4，3）．
设直线OC的解析式为y=kx（k≠0），
则有3=4k，解得：k=，
∴直线OC的解析式为y=x．
∵点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为m，PQ⊥x轴，
∴P（m，﹣m+6），Q（m，m）．
当m＜4时，d=﹣m+6﹣m=﹣m+6；
当m＞4时，d=m﹣（﹣m+6）=m﹣6．
故d与m的函数解析式为d=，
（3）假设存在，设点P的坐标为（n，﹣n+6）（0＜n＜8）．
∵点P在第一象限，
∴以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形有两种情况：
①以BP为对角线时，如图4所示．
∵四边形OPNB为菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=，
解得：n=或n=0（舍去），
∴点P（，），
∴点N（+0﹣0，6+﹣0），即（，）；
②以OP为对角线时，如图5所示．
此时点P在第一象限，但点N在第四象限，故此种情况不合适．
综上得：当点P在线段AB（点M不与A，B重合）上运动时，在坐标系第一象限内存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为菱形，N点坐标为（，）．
8．（2016春 松江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，
∴点B（，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．
∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE===，
∴D（，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴设直线DC的解析式为，
∵直线DC过点D（，9），
∴b=11，
∴直线DC的解析式为．
（3）假设存在．
以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，
∵A（0，4），B（，0），D（，9），
∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD为对角线时，
∵A（0，4），B（，0），D（，9），
∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
9．（2016春 张家港市期末）如图，直线l1：y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y=kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y=﹣x+b中，
得：2=﹣2+b，解得：b=4，
∴直线l1为y=﹣x+4．
令y=﹣x+4中x=0，则y=4，
∴B（0，4）；
令y=﹣x+4中y=0，则x=8，
∴A（8，0）．
故答案为：8；0；0；4．
（2）∵点C（4，2）是直线l2：y=kx﹣6上的点，
∴2=4k﹣6，解得：k=2，
∴直线l2为y=2x﹣6．
∵点E的横坐标为m（0≤m≤4），
∴E（m，﹣m+4），F（m，2m﹣6），
∴EF=﹣m+4﹣（2m﹣6）=10﹣m．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴BO=EF，即4=10﹣m，
解得：m=．
故当m=时，四边形OBEF是平行四边形．
（3）假设存在．
以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况：
①以AB为边，如图1所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴AB=4．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴AP=AB，
∴P（8﹣4，0）或（8+4，0）．
当P（8﹣4，0）时，Q（8﹣4﹣8，0+4），即（﹣4，4）；
当P（8+4，0）时，Q（8+4﹣8，0+4），即（4，4）；
②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴M（4，2），AM=AB=2．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA=∠BOA=90°，
∴△AMP∽△AOB，
∴，
∴AP=5，
∴点P（8﹣5，0），即（3，0）．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴点Q（8+0﹣3，0+4﹣0），即（5，4）．
综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为（﹣4，4）、（4，4）或（5，4）．2·1·c·n·j·y
10．（2016春 广水市期末）已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（12，0）、点B，与函数y=x的图象交于点E，点E的横坐标为3，求：
（1）直线AB的解析式；
（2）在x轴有一点F（a，0）．过点F作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和函数y=x于点C、D，若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值．
【解答】解：（1）把x=3代入y=x，得y=3，
∴E（3，3），
把A（12，0）、E（3，3）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4．
（2）由题意可知C、D的横坐标为a，
∴C（a，﹣a+4），D（a，a），
∴CD=|a﹣（﹣a+4）|=|a﹣4|．
若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则CD=OB=4，即|a﹣4|=4，
解得：a=6或a=0（舍去）．
故：当以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，a的值为6．
11．（2016春 深圳期末）如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的直线y=﹣x+b与x轴交于点B．
（1）b的值为 ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形ABEC是平行四边形；
（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∵过点C的直线y=﹣x+b与x轴交于点B，
∴b=3，
故答案为3，
（2）证明：当b=3时，直线BC为y=﹣x+3
由x=0得，y=3，
∴C（0，3），OC=3
由y=0得，x=3，
∴B（3，0），OB=3
∴OB=OC=3
∴∠OBC=∠OCB=45°
由折叠得：∠BCE=∠OCB=45°
CE=CD=OC+OD=4
∴∠OBC=∠BCE
∴CE∥AB
由y=3x+3，令y=0得，x=﹣1，
∴A（﹣1，0）
∴AB=OA+OB=3+1=4
∴AB=CE
∴四边形ABEC为平行四边形．
（3）解：存在点P，使以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形．
方法①如图，
∵A（﹣1，0）、D（0，﹣1），
∴直线AD解析式为y=﹣x﹣1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3．
∴AD∥BC，
∵点P在直线BC上，
∴设点P坐标为（m，﹣m+3），
∴PB2=（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
∵使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴PB=AD，
∴PB2=AD2，
∵AD2=2，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2=2．
∴m1=2，m2=4，
∴P（2，1）或P（4，﹣1），
综上所述，存在点P，使以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为P1（2，1）或P2（4，﹣1）．
综上所述，存在点P，使以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为P1（2，1）或P2（4，﹣1）．
12．（2016秋 哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在四边形OABC中，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（9，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动（点P不与点B重合），过P作PH⊥x轴，垂足为H，直线HP交直线BC于点Q，设PQ的长度为d，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，在y轴和直线BC上分别找一点M和N，当四边形PQMN为菱形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（9，0）．
∴，
∴
∴直线BC解析式为y=﹣2x+18，
（2）∵AB∥OC，点B的坐标为（6，6），
∴A（0，6），AB=6，
设点P坐标为（t，6），
∴Q（t，﹣2t+18），
①当0≤t＜6时，
d=PQ=yQ﹣yP=﹣2t+18﹣6=﹣2t+12；
②当t＞6时，
d=PQ=yP﹣yQ=6﹣（﹣2t+18）=2t﹣12；
∴d=，
（3）∵PQ∥y轴，四边形PQMN为菱形，
∴MN∥y轴，
∵点M在y轴上，
∴点N也在y轴上，
∵N在直线BC上，
∴N（0，18），
由（2）知，P（t，6），
∴NP=，
∵四边形PQMN为菱形，
∴PQ=NP=MN，
①当0≤t＜6时，
∴﹣2t+12=，
∴t=0（舍）或t=16（舍）
②当t＞6时，
∴2t﹣12=，
∴t=0（舍）或t=16，
∴MN=PQ=20，
∵N（0，18）
∴M（0，﹣2）．
13．（2016春 兴化市校级月考）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B的直线y=x+m与x轴交于点C．21教育网
（1）求直线l的解析式及点C的坐标．
（2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）解：∵A（1，0），
∴OA=1，
∵∠ABO=30°，
∴0B=，AB=2，
∴B（O，），
设直线l的解析式为y=kx+，
∵A（1，0）在直线l上，
∴k=﹣，
∴y=﹣x+，
∵B（0，）在直线y=x+m上，
∴m=，
∴直线BC的解析式为y=x+，
∵点C在x轴上，
∴C﹣3，0）．
（2）解：如图1，
①四边形DEBF为矩形，
∵DE∥AB，DF∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴平行四边形BEDF为矩形．
②∵G为EF中点，
∴G为矩形BEDF的对角线的交点，
∵要使DG最短，也就是BD最短，
∴只有BD⊥AC时，BD最短，
∴CD=3，
∴t=3；
（3）
解：如图2，在坐标平面内是存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
设P（0，m）且A（1，0），B（0，），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+，
作a∥BP，则直线a的解析式为x=1，
作b∥AP，则直线b的解析式为y=mx+，
作c∥AB，则直线c的解析式为y=﹣x+m，
①以AB为对角线时，有，
∴Q1（1，﹣m+），
∵四边形Q1BPA为菱形，
∴Q1A=Q1B，即：Q1A2=Q1B2，
∴（﹣m+）2=1+m2，
∴m=，
∴Q1（1，），P（0，），
②以AB为边时，
Ⅰ、QP为对角线时，
∵点A（1，0），B（0，），
∴AB=2，
∵点P是y轴上的点，
∴P（0，+2）或P（0，﹣2）
∵AB解析式为y=﹣x+，
∴AP解析式为y=﹣x++2或y=﹣x+﹣2，
∵四边形APQB为菱形，
∴点Q过点A且PQ∥y轴的直线上，
∴Q2（1，2）或Q3（1，﹣2）；
Ⅱ、以BP为对角线时，
∴P（0，﹣），
∴点Q4（﹣1，0），
∴存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q1（1，），或Q2（1，2），或Q3（1，﹣2）或Q4（﹣1，0）．www.21-cn-jy.com
14．（2016春 齐齐哈尔校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C在坐标轴上，∠ACB=90°，OC，OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OC＜OB．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求点A，B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，把△ABC分成面积相等的两部分，求直线CE的解析式；
（3）在平面内是否存在点M，使以点B、C、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OC，OB的长分别是方程x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）=0的两个根，且OC＜OB，21*cnjy*com
∴OC=3，OB=4．
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCA+OCB=∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∴OA=，
∴点A的坐标为（﹣，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）．
（2）根据题意画出图形，如图1所示．
∵直线CE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴点E为线段AB的中点．
∵点A（﹣，0）、点B（4，0），
∴点E的坐标为（，0）．
设直线CE的解析式为y=kx+3，
将点E（，0）代入y=kx+3中，
得：0=k+3，解得：k=﹣，
∴直线CE的解析式为y=﹣x+3．
（3）假设存在，以点B、C、E、M为顶点的四边形是平行四边形分三种情况，如图2、3、4所示．
①如图2，以线段BE为对角线，
∵点C（0，3），点B（4，0），点E（，0），
∴点M（4+﹣0，0+0﹣3），即（，﹣3）；
②如图3，以线段CE为对角线，
∵点C（0，3），点B（4，0），点E（，0），
∴点M（+0﹣4，0+3﹣0），即（﹣，3）；
③如图4，以线段BC为对角线，
∵点C（0，3），点B（4，0），点E（，0），
∴点M（4+0﹣，3+0﹣0），即（，3）．
综上可知：在平面内存在点M，使以点B、C、E、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（，﹣3）、（﹣，3）或（，3）．21·cn·jy·com
15．（2015 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．21*cnjy*com
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，AB===10；
（2）∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴，即，
解得：x=3．
即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是y=x+6，
设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．
则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，
设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，
AB=10，
根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，
∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），
BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），
∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），
AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．
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