第2章 函数 章末复习提升

课件31张PPT。章末复习提升第二章　函 数知识网络 整体构建要点归纳 主干梳理题型探究 重点突破栏目索引返回 知识网络 整体构建 要点归纳 主干梳理知识点一　对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.它的三要素是定义域、值域和对应关系.函数的值域是由定义域和对应关系所确定的.
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示.
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法.在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的.
(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数.
(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射.在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像.知识点二　函数的单调性
1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.
2.函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：
(1)取值：任取x1，x2∈D，且x10；
(2)作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；
(3)判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
(4)下结论：根据定义得出结论.知识点三　函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.返回 题型探究 重点突破题型一　函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图像及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.解析答案解　∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，比较得n＝－n，n＝0.∴实数m和n的值分别是2和0.(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.解析答案任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，∵－2≤x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，跟踪训练1　设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)∴f(x)为偶函数.
又f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减.2a2－4a＋3＝2(a－1)2＋1>0，
由f(2a2＋a＋1)2a2＋a＋1>2a2－4a＋3，题型二　函数图像及其应用函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出.函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.例2　对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；解　函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
图像关于y轴对称.解析答案(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值.解析答案画出图像如图所示，根据图像知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
单调减区间是(－∞，－1]，[0,1].解析答案解析答案如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).从图像观察可得函数f(x)的表达式：f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.题型三　抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题.例3　函数f(x)对一切实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由.解析答案解　方法一　设任意的x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0.由条件x>0时，f(x)>0，
∴f(x2－x1)>0.
又f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f((x2－x1)＋x1)
＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)
＝－f(x2－x1)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)为R上的增函数.解析答案方法二　设x1∈R，令x2＝x1＋a(a>0)，
则x1那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋a)
＝f(x1)－f(x1)－f(a)＝－f(a).
又当a>0时，f(a)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)1时，f(x)>0.
求证：(1)f(x)是偶函数；
证明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]
＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f[(－1)×x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x).
∴f(x)是偶函数.解析答案(2)f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.
证明　设0x1>0，∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的.分类讨论思想解题思想方法分类讨论思想的实质：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对?的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题，函数性质中求参数的取值范围问题等.解析答案例4　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解析答案解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图像如图(1)，函数f(x)在区间[t，
t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图像如图(2)，最小值为f(1)
＝1；
当t>1时，函数图像如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函
数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.解析答案返回解析　首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a<0时，1－a>1,1＋a<1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，返回