第18章平行四边形 教案
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文档简介
第18章
平行四边形
18.1平行四边形的性质
第1课时
平行四边形的性质定理1、2
【知识与技能】
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质并会进行有关的论证
2.掌握平行线间的距离的概念和定理
【过程与方法】
经过运用图形的变换探索图形性质的过程，体验数学研究和发现的过程，并得出正确的结论
【情感态度】
渗透化未知为已知的数学方法；渗透从特殊到
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【教学重点】
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用
【教学难点】
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
一、情境导入,初步认识
1.什么样的图形是平行四边形？
2.根据定义，你能判断出平行四边形有哪些性质吗？
【教学说明】平行四边形，学生在小学就有一定的了解，引导学生从定义上来了解平行四边形的性质.
二、思考探究，获取新知
探究1：平行四边形的表示方法
如图，在四边形ABCD中，如果AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
探究2：平行四边形的性质1、2
如图，用剪刀把□ABCD从纸上剪下，放在另
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在□ABCD中连结AC、BD，它们的交点记
( http: / / www.21cnjy.com )为O．用一枚图钉穿过O点，将□ABCD绕点O旋转180°．观察旋转后的□ABCD和纸上所画的□EFGH是否重合．
你能从中得出□ABCD的一些边角关系吗
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我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到
AD=BC，AB=DC，
∠A=∠C，∠B=∠D．
你能用几何过程进行证明吗？
已知：如图□ABCD，
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求证：AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．
分析：作□ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等,即可得到结论．
证明：连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
又AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
∴AB=CD，CB=AD，∠B=∠D．
又∠1＋∠4=∠2＋∠3，
∴∠BAD=∠BCD．
【归纳结论】平行四边形性质1
平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2
平行四边形的对角相等．
探究3：平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
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经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等．这种现象说明了平行线的又一个性质：
【归纳结论】平行线之间的距离处处相等
【教学说明】学生自己动手操作、作图.教师引导学生观察操作过程，总结相关结论.
加深学生印象.
三、运用新知，深化理解
1.如图,在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（C）
A.7个
B.8个
C.9个
D.11个
2.如图,已知在平行四边形
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解析：由平行四边形的性质AB∥DC,知
( http: / / www.21cnjy.com )∠ABE=∠F，结合角平分线的性质∠ABE=∠EBC，得∠EBC=∠F，再根据等角对等边得到BC=CF=7，再由AB=CD=4，AD=BC=7,得到DF=DE=AD-AE=3.
答案：3
3.在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（B）
A．1：2：3：4
B．1：2：1：2
C．1：1：2：2
D．1：2：2：1
4.如图,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
5.如图所示,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.
求证:△ABE≌△CDF.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF.
【教学说明】让学生独立完成，老师作更正、强调.
四、师生互动，课堂小结
1.平行四边形的符号是什么？
2.平行四边形的性质有哪些？
1.布置作业:教材P76“练习”.
2.完成本课时对应练习.
学生通过动手操作的过程和多媒体课件
( http: / / www.21cnjy.com )的演示，得出并掌握性质，效果比较好.例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式，能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，反馈工作做得较到位.
第2课时
平行四边形的性质定理3
【知识与技能】
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
【过程与方法】
探索平行四边形对角线互相平分的性质
【情感态度】
体会用平行四边形的对角线互相平分解决平行四边形的计算问题
【教学重点】
平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用
【教学难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
一、情境导入,初步认识
想一想：
1.平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？
2.平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？
3.你能发现平行四边形的对角线有什么性质？
【教学说明】采用提问的方式对上节课进行复习，导出本节课的教学内容，过渡自然.
二、思考探究，获取新知
探究：平行四边形的性质3
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证：OA=OC,OB=OD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴△BAO≌△DCO（ASA）
∴AO=COBO=DO
【归纳结论】平行四边形的对角线互相平分.
三、运用新知，深化理解
1.如图，□ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4cm,AD=3cm,OF=1cm,则四边形BCFE的周长为________.
解析：OE=OF=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2OF=9(cm).
答案：9cm
2.如图，如果直线EF∥MN，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？你能说出理由吗？
解：相等
理由如下：
∵EF∥MN
∴点A、D分别到MN的距离相等.
即△ABC与△DBC的高相等
又∵△ABC与△DBC的底都是BC
∴△ABC的面积与△DBC的面积相等
3.如图，已知□ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.
证明：由□ABCD得，∠ODF=∠OBE.OD=OB.∠DOF=∠BOE(对顶角相等).
∴△ODF≌△OBE.
∴OE=OF.
点拨：证明△OBE≌△ODF.
4.如图，在□ABCD中，过对角线AC的中点O所在直线交AD、CB的延长线于E、F．试问：DE与BF的大小关系如何？证明结论．（7分）
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解：DE=BF．证明如下：
∵O为AC的中点，
∴OA=OC．又AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
又∵AD=CB（平行四边形的对边相等），
∴AE-AD=CF-CB，即DE=BF．
5.已知：如图,
□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE=OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠1=∠2．∠3=∠4．
又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
1.布置作业:教材P80“练习”.
2.完成本课时对应练习.
教学时要让学生动手探索、自主得出结
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18.2
平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的判定（1）
【知识与技能】
理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用
一、情境导入,初步认识
1.什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）
2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果……那么……）
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的
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【教学说明】引出课题，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
探究1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质“平行四
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如图，作一个两组对边分别相等的四边形．
把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
你能证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证AB∥DC，AD∥BC，因此需要连结对角线构造内错角．
证明：连结AC，
∵AD=BC，AB=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的性质），
∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
探究2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．
我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．
证明：连结对角线AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC=AD（全等三角形的性质），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“”来表示．如课本P84图18.2.5，AB=CD且AB∥CD，可以记作“ABCD”，读作“AB平行且等于CD”．
【教学说明】学生经历先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理的理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1.如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
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证明：∵E是AC的中点，
∴EC=AC，
又∵DB=AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
2.如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．
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证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE=AF，
同理：EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．
3.如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
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证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF
∴四边形MFNE为平行四边形．
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
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证明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
5.在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
四、师生互动，课堂小结
本节课我们学行四边形的哪些判定定理？
1.布置作业:教材P85“练习”.
2.完成本课时对应练习.
本节课学生通过学习，掌握
( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的识别条件，主要是关于平行四边形的边的判定定理.而这些判定定理，是由逆命题猜想、操作验证、逻辑论证的方法得出的.从中学生体验和经历数学探究过程，学会数学思维方法.
第2课时
平行四边形的判定（2）
【知识与技能】
理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用
一、情境导入,初步认识
上节课我们学习了利用四边形的边来判定一个四边形是否为平行四边形，那么我们能不能利用四边形的对角线来判定一个四边形是否为平行四边形？
二、思考探究，获取新知
探究1：对角线互相平分的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”
任意画两条线段，让两条线段的中点重合，连接两条线段的四个端点得到一个四边形.
观察这样得到的图形是什么图形？
根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．
证明：∵OA=CO.∠AOD=∠COB(对顶角相等).
∴OB=OD.∴△AOD≌△COB.
∴AD=BC.同理△AOB≌△COD,
∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
探究2：两组对角相等的四边形是平行四边形
思考：我们已经知道，通过四边形的边或者
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由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°（四边形的内角和等于360°），
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A＋∠B=∠A＋∠D=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【教学说明】学生经过先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
2.如图，已知D是△ABC的边AB上一
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解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．
证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，∠AOD=∠COE
∴△ADO≌△CEO，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CDAE．
3.如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形
∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4.已知：如图所示，平行四边形AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：如图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．
∴四边形EHFG为平行四边形．
【教学说明】本组习题主要是对平行四边形的性质和判定定理的综合应用，先让学生独立完成，对有困难的学生可适当的引导、提示.
四、师生互动，课堂小结
我们学行四边形的性质和判定定理，你对它们的应用有什么感受？请同学们相互交流一下.
1.布置作业:教材“习题18.2”中第3、4题.
2.完成本课时对应练习.
本节课通过以上“猜想——作图验证——逻辑
( http: / / www.21cnjy.com )论证”，学生经历发现平行四边形判定定理的过程，能直接体验和掌握数学思维方法，获得数学学习的快乐.例题的讲解，学生可及时巩固新知识，同时培养了学生思维的灵活性，提高解决问题能力.对于练习中反馈的问题，教师及时改进教学，帮助学生澄清疑问，学通弄懂.
本章热点专题训练
【知识与技能】
熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算
【过程与方法】
引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.
【情感态度】
在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.
【教学重点】
使学生能熟练运用平行四边形的性质、判定定理
【教学难点】
构造平行四边形解决问题
一、知识结构
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【教学说明】通过画知识结构图，使学生对本章知识进行全面了解.
二、释疑解惑，加深理解
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行
（2）角的性质：平行四边形的对角相等
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分
（4）平行四边形是中心对称图形
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.两条平行线间的距离的定义
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等.
【教学说明】通过课前热身练习，让学生对知识进行回忆，进一步体会平行四边形的性质、判定.概念再现，知识梳理.
三、典例精析，复习新知
1.在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为AB∥CD，就可以判定四边形ABCD为平行四边形.
2.已知E、F、G、H分别为□ABCD各边的中点，则四边形EFGH为平行四边形.
3.下列结论正确的是（C）
A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
4.如图所示，已知AB∥DE,EF∥BC,DF∥AC,则图中有3个平行四边形.
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第4题图
第5题图
5.已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（C）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
6.如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
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证明：如图,过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．
∵DC∥AB，
∴ABGD是平行四边形，
∴BGAD．
在□ACED中，ADCE，
∴CEBG．
∴四边形BCEG为平行四边形，
∴EF=FB．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对
( http: / / www.21cnjy.com )整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状.
解：（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边形．
证明：有（1）可知：BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边行，
∴AD∥BC，
∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，
∴△DMF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
2.如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O,△ACE和△ACF均为等边三角形.求证：四边形BEDF是平行四边形.
因为AC、BD为□ABCD的对角线，所
( http: / / www.21cnjy.com )以OA=OC,OB=OD.要证四边形BEDF为平行四边形，只需证过E、F两点的直线经过点O,且OE=OF.连结OE、OF,由△ACE和△ACF均为等边三角形，OA=OC,所以E、F两点在AC的中垂线上，且过点O，从而可得OE=OF,所以四边形BEDF为平行四边形.
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证明：连结OE、OF.
∵AC、BD为□ABCD的对角线，
∴OA=OC,OB=OD.
∵△ACE和△ACF均为等边三角形，
∴CE=AE=AC=AF=CF,
∴E、F两点在AC的中垂线上，
∴E、F、O三点在同一直线上，且O为EF的中点，
∴OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【归纳结论】本题综合考查了平等四边形的性质与判定、中垂线定理、等边三角形的性质，具有一定的难度.
3.如图，在四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )点E是线段AD上的任意一点（E与A,D不重合），G,F,H分别是BE,BC,CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形；
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分析：(1)根据三角形中位线定理得GF∥EC,GF=EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以EGFH是平行四边形.证明：（1）在△BEC中，∵G,F分别是BE,BC的中点
∴GF∥EC且GF=EC
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形
4.如图，分别以△ABC的三边为边长，
( http: / / www.21cnjy.com )在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.
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解析：先证△EDB≌△CFE，
可得BD=EF，ED=CF.
∵BD=DA，CF=AF，
∴ED=AF，EF=DA，
∴四边形ADEF是平行四边形.
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90
( http: / / www.21cnjy.com )°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
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解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，
∴∠3=∠C．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．
又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．
【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）
1.布置作业:教材P94~96“复习题”中第6、7、9、13、18题.
2.完成本课时对应练习.
本节复习课，我是先引导学生复
( http: / / www.21cnjy.com )习本章知识点.采用讨论、提问的方式进行教学，学生的积极性比较高，大部分学生都能掌握平行四边形的有关概念、性质定理、判定定理、多边形的内角和公式、外角和.通过知识点的回顾，使学生对本章知识作了个系统的了解和整理.接着是例题讲解，这些例题都是基础知识，比较简单，可以先让学生独立完成，简答题可让个别学生上台板演，教师注重学生的板书过程，适当的作强调、更正.再是学生练习，这组练习题的难度较大，应采用分组教学，教师适当的提示、引导.使优生得到更好的锻炼、提高.
平行四边形
18.1平行四边形的性质
第1课时
平行四边形的性质定理1、2
【知识与技能】
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质并会进行有关的论证
2.掌握平行线间的距离的概念和定理
【过程与方法】
经过运用图形的变换探索图形性质的过程，体验数学研究和发现的过程，并得出正确的结论
【情感态度】
渗透化未知为已知的数学方法；渗透从特殊到
( http: / / www.21cnjy.com )一般、从具体到抽象、从感性到理性的辩证思想；渗透严谨求实的科学态度的理念；营造“民主、和谐”的课堂氛围；让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验
【教学重点】
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用
【教学难点】
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
一、情境导入,初步认识
1.什么样的图形是平行四边形？
2.根据定义，你能判断出平行四边形有哪些性质吗？
【教学说明】平行四边形，学生在小学就有一定的了解，引导学生从定义上来了解平行四边形的性质.
二、思考探究，获取新知
探究1：平行四边形的表示方法
如图，在四边形ABCD中，如果AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
探究2：平行四边形的性质1、2
如图，用剪刀把□ABCD从纸上剪下，放在另
( http: / / www.21cnjy.com )一张纸上，并沿□ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四边形EFGH和□ABCD完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角都分别相等．
在□ABCD中连结AC、BD，它们的交点记
( http: / / www.21cnjy.com )为O．用一枚图钉穿过O点，将□ABCD绕点O旋转180°．观察旋转后的□ABCD和纸上所画的□EFGH是否重合．
你能从中得出□ABCD的一些边角关系吗
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我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到
AD=BC，AB=DC，
∠A=∠C，∠B=∠D．
你能用几何过程进行证明吗？
已知：如图□ABCD，
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求证：AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．
分析：作□ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等,即可得到结论．
证明：连接AC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
又AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
∴AB=CD，CB=AD，∠B=∠D．
又∠1＋∠4=∠2＋∠3，
∴∠BAD=∠BCD．
【归纳结论】平行四边形性质1
平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2
平行四边形的对角相等．
探究3：平行线之间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
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经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等．这种现象说明了平行线的又一个性质：
【归纳结论】平行线之间的距离处处相等
【教学说明】学生自己动手操作、作图.教师引导学生观察操作过程，总结相关结论.
加深学生印象.
三、运用新知，深化理解
1.如图,在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（C）
A.7个
B.8个
C.9个
D.11个
2.如图,已知在平行四边形
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_______cm.
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解析：由平行四边形的性质AB∥DC,知
( http: / / www.21cnjy.com )∠ABE=∠F，结合角平分线的性质∠ABE=∠EBC，得∠EBC=∠F，再根据等角对等边得到BC=CF=7，再由AB=CD=4，AD=BC=7,得到DF=DE=AD-AE=3.
答案：3
3.在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（B）
A．1：2：3：4
B．1：2：1：2
C．1：1：2：2
D．1：2：2：1
4.如图,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
5.如图所示,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.
求证:△ABE≌△CDF.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF.
【教学说明】让学生独立完成，老师作更正、强调.
四、师生互动，课堂小结
1.平行四边形的符号是什么？
2.平行四边形的性质有哪些？
1.布置作业:教材P76“练习”.
2.完成本课时对应练习.
学生通过动手操作的过程和多媒体课件
( http: / / www.21cnjy.com )的演示，得出并掌握性质，效果比较好.例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式，能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，反馈工作做得较到位.
第2课时
平行四边形的性质定理3
【知识与技能】
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
【过程与方法】
探索平行四边形对角线互相平分的性质
【情感态度】
体会用平行四边形的对角线互相平分解决平行四边形的计算问题
【教学重点】
平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用
【教学难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
一、情境导入,初步认识
想一想：
1.平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？
2.平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？
3.你能发现平行四边形的对角线有什么性质？
【教学说明】采用提问的方式对上节课进行复习，导出本节课的教学内容，过渡自然.
二、思考探究，获取新知
探究：平行四边形的性质3
如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证：OA=OC,OB=OD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴△BAO≌△DCO（ASA）
∴AO=COBO=DO
【归纳结论】平行四边形的对角线互相平分.
三、运用新知，深化理解
1.如图，□ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4cm,AD=3cm,OF=1cm,则四边形BCFE的周长为________.
解析：OE=OF=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2OF=9(cm).
答案：9cm
2.如图，如果直线EF∥MN，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？你能说出理由吗？
解：相等
理由如下：
∵EF∥MN
∴点A、D分别到MN的距离相等.
即△ABC与△DBC的高相等
又∵△ABC与△DBC的底都是BC
∴△ABC的面积与△DBC的面积相等
3.如图，已知□ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.
证明：由□ABCD得，∠ODF=∠OBE.OD=OB.∠DOF=∠BOE(对顶角相等).
∴△ODF≌△OBE.
∴OE=OF.
点拨：证明△OBE≌△ODF.
4.如图，在□ABCD中，过对角线AC的中点O所在直线交AD、CB的延长线于E、F．试问：DE与BF的大小关系如何？证明结论．（7分）
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解：DE=BF．证明如下：
∵O为AC的中点，
∴OA=OC．又AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
又∵AD=CB（平行四边形的对边相等），
∴AE-AD=CF-CB，即DE=BF．
5.已知：如图,
□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE=OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠1=∠2．∠3=∠4．
又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
1.布置作业:教材P80“练习”.
2.完成本课时对应练习.
教学时要让学生动手探索、自主得出结
( http: / / www.21cnjy.com )论，学生动手操作的效果，远远高于老师在无休止的说教.教学中应强调，在应用平行四边形的性质时，连接对角线是常用的作辅助线方法.
18.2
平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的判定（1）
【知识与技能】
理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用
一、情境导入,初步认识
1.什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）
2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果……那么……）
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的
( http: / / www.21cnjy.com )其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？
【教学说明】引出课题，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
探究1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质“平行四
( http: / / www.21cnjy.com )边形的两组对边分别相等”.逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
如图，作一个两组对边分别相等的四边形．
把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
你能证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证AB∥DC，AD∥BC，因此需要连结对角线构造内错角．
证明：连结AC，
∵AD=BC，AB=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的性质），
∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
探究2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．
我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．
证明：连结对角线AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC=AD（全等三角形的性质），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“”来表示．如课本P84图18.2.5，AB=CD且AB∥CD，可以记作“ABCD”，读作“AB平行且等于CD”．
【教学说明】学生经历先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理的理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1.如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
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证明：∵E是AC的中点，
∴EC=AC，
又∵DB=AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
2.如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．
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证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE=AF，
同理：EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．
3.如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
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证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF
∴四边形MFNE为平行四边形．
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
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证明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
5.在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
四、师生互动，课堂小结
本节课我们学行四边形的哪些判定定理？
1.布置作业:教材P85“练习”.
2.完成本课时对应练习.
本节课学生通过学习，掌握
( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的识别条件，主要是关于平行四边形的边的判定定理.而这些判定定理，是由逆命题猜想、操作验证、逻辑论证的方法得出的.从中学生体验和经历数学探究过程，学会数学思维方法.
第2课时
平行四边形的判定（2）
【知识与技能】
理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形
【过程与方法】
探索平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用
一、情境导入,初步认识
上节课我们学习了利用四边形的边来判定一个四边形是否为平行四边形，那么我们能不能利用四边形的对角线来判定一个四边形是否为平行四边形？
二、思考探究，获取新知
探究1：对角线互相平分的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”
任意画两条线段，让两条线段的中点重合，连接两条线段的四个端点得到一个四边形.
观察这样得到的图形是什么图形？
根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．
证明：∵OA=CO.∠AOD=∠COB(对顶角相等).
∴OB=OD.∴△AOD≌△COB.
∴AD=BC.同理△AOB≌△COD,
∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
探究2：两组对角相等的四边形是平行四边形
思考：我们已经知道，通过四边形的边或者
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由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°（四边形的内角和等于360°），
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A＋∠B=∠A＋∠D=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【教学说明】学生经过先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
2.如图，已知D是△ABC的边AB上一
( http: / / www.21cnjy.com )点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．
证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，∠AOD=∠COE
∴△ADO≌△CEO，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CDAE．
3.如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形
∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4.已知：如图所示，平行四边形AB
( http: / / www.21cnjy.com )CD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：如图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．
∴四边形EHFG为平行四边形．
【教学说明】本组习题主要是对平行四边形的性质和判定定理的综合应用，先让学生独立完成，对有困难的学生可适当的引导、提示.
四、师生互动，课堂小结
我们学行四边形的性质和判定定理，你对它们的应用有什么感受？请同学们相互交流一下.
1.布置作业:教材“习题18.2”中第3、4题.
2.完成本课时对应练习.
本节课通过以上“猜想——作图验证——逻辑
( http: / / www.21cnjy.com )论证”，学生经历发现平行四边形判定定理的过程，能直接体验和掌握数学思维方法，获得数学学习的快乐.例题的讲解，学生可及时巩固新知识，同时培养了学生思维的灵活性，提高解决问题能力.对于练习中反馈的问题，教师及时改进教学，帮助学生澄清疑问，学通弄懂.
本章热点专题训练
【知识与技能】
熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算
【过程与方法】
引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.
【情感态度】
在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.
【教学重点】
使学生能熟练运用平行四边形的性质、判定定理
【教学难点】
构造平行四边形解决问题
一、知识结构
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【教学说明】通过画知识结构图，使学生对本章知识进行全面了解.
二、释疑解惑，加深理解
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行
（2）角的性质：平行四边形的对角相等
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分
（4）平行四边形是中心对称图形
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.两条平行线间的距离的定义
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等.
【教学说明】通过课前热身练习，让学生对知识进行回忆，进一步体会平行四边形的性质、判定.概念再现，知识梳理.
三、典例精析，复习新知
1.在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为AB∥CD，就可以判定四边形ABCD为平行四边形.
2.已知E、F、G、H分别为□ABCD各边的中点，则四边形EFGH为平行四边形.
3.下列结论正确的是（C）
A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
4.如图所示，已知AB∥DE,EF∥BC,DF∥AC,则图中有3个平行四边形.
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第4题图
第5题图
5.已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（C）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
6.如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
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证明：如图,过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．
∵DC∥AB，
∴ABGD是平行四边形，
∴BGAD．
在□ACED中，ADCE，
∴CEBG．
∴四边形BCEG为平行四边形，
∴EF=FB．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对
( http: / / www.21cnjy.com )整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状.
解：（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边形．
证明：有（1）可知：BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边行，
∴AD∥BC，
∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，
∴△DMF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
2.如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O,△ACE和△ACF均为等边三角形.求证：四边形BEDF是平行四边形.
因为AC、BD为□ABCD的对角线，所
( http: / / www.21cnjy.com )以OA=OC,OB=OD.要证四边形BEDF为平行四边形，只需证过E、F两点的直线经过点O,且OE=OF.连结OE、OF,由△ACE和△ACF均为等边三角形，OA=OC,所以E、F两点在AC的中垂线上，且过点O，从而可得OE=OF,所以四边形BEDF为平行四边形.
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证明：连结OE、OF.
∵AC、BD为□ABCD的对角线，
∴OA=OC,OB=OD.
∵△ACE和△ACF均为等边三角形，
∴CE=AE=AC=AF=CF,
∴E、F两点在AC的中垂线上，
∴E、F、O三点在同一直线上，且O为EF的中点，
∴OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【归纳结论】本题综合考查了平等四边形的性质与判定、中垂线定理、等边三角形的性质，具有一定的难度.
3.如图，在四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )点E是线段AD上的任意一点（E与A,D不重合），G,F,H分别是BE,BC,CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形；
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分析：(1)根据三角形中位线定理得GF∥EC,GF=EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以EGFH是平行四边形.证明：（1）在△BEC中，∵G,F分别是BE,BC的中点
∴GF∥EC且GF=EC
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH
∴四边形EGFH是平行四边形
4.如图，分别以△ABC的三边为边长，
( http: / / www.21cnjy.com )在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.
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解析：先证△EDB≌△CFE，
可得BD=EF，ED=CF.
∵BD=DA，CF=AF，
∴ED=AF，EF=DA，
∴四边形ADEF是平行四边形.
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90
( http: / / www.21cnjy.com )°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
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解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，
∴∠3=∠C．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．
又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．
【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）
1.布置作业:教材P94~96“复习题”中第6、7、9、13、18题.
2.完成本课时对应练习.
本节复习课，我是先引导学生复
( http: / / www.21cnjy.com )习本章知识点.采用讨论、提问的方式进行教学，学生的积极性比较高，大部分学生都能掌握平行四边形的有关概念、性质定理、判定定理、多边形的内角和公式、外角和.通过知识点的回顾，使学生对本章知识作了个系统的了解和整理.接着是例题讲解，这些例题都是基础知识，比较简单，可以先让学生独立完成，简答题可让个别学生上台板演，教师注重学生的板书过程，适当的作强调、更正.再是学生练习，这组练习题的难度较大，应采用分组教学，教师适当的提示、引导.使优生得到更好的锻炼、提高.