课件40张PPT。第一章 § 2 等差数列2.1 等差数列(一)1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示．
思考 等差数列{an}的概念可用符号表示为 ．答案知识点一 等差数列的概念等差公差an＋1－an＝d(n∈N*)知识点二 等差中项的概念答案如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成 数列，那么A叫作a与b
的等差中项，即A＝ .等差知识点三 等差数列的通项公式答案若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝ .a1＋(n－1)d答案思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？答案 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
……
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．知识点四 等差数列的单调性答案返回等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列．d>0d<0d＝0 题型探究 重点突破题型一 等差数列的概念解析答案解析 等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列.C解析答案反思与感悟A(1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数.
(2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列{an}的公差d是否大于0.
(3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.反思与感悟解析答案B解析答案(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________.6解析答案例2 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.题型二 等差数列的通项公式及应用解 设{an}的公差为d.解析答案反思与感悟(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？反思与感悟∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.反思与感悟跟踪训练2 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；解析答案∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)前三项为a,2a－1,3－a.解析答案解析答案题型三 等差数列的判定与证明(1)求证：数列{bn}为等差数列；解析答案∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)，∴数列{bn}是等差数列.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.解析答案反思与感悟(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由.反思与感悟即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，且是第11项.反思与感悟1.判定等差数列的方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}为等差数列.
(3)通项公式法：数列{an}的通项公式an＝pn＋q(p，q为常数)?数列{an}为等差数列.反思与感悟注意：①通项公式法不能作为证明方法.②若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差.③若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
2.已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式.跟踪训练3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.
(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；解析答案证明 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，
故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式.解析答案解 由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.对等差数列的定义理解不深刻易错点例4 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 3n，求证：数列{an}为等差数列.解析答案返回误区警示
错解 因为an＝10＋lg 3n＝10＋nlg 3，所以a1＝10＋lg 3，a2＝10＋2lg 3，a3＝10＋3lg 3，所以a2－a1＝lg 3，a3－a2＝lg 3，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列.错因分析 由数列的通项公式求出的a2－a1＝a3－a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列.解析答案正解 因为an＝10＋lg 3n＝10＋nlg 3，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 3.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 3]－(10＋nlg 3)＝lg 3(n∈N*)，所以数列{an}为等差数列.误区警示误区警示数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件.返回 当堂检测12345解析答案1.等差数列{1－3n}，公差d等于( )
A.1 B.3 C.－3 D.n解析 ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.C12345解析答案2.下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列.其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.③④
解析 ②③④正确，①中公差为－2.C12345解析答案3.在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A.21 B.22
C.23 D.24解析 公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，又∵n∈N*，∴n＝22.B12345解析答案4.若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个12345解析 设an＝kn＋b，
则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列.
pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，
故③为等差数列，
2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，
故④为等差数列.
①未必，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，显然{|an|}不是等差数列.
答案 C12345解析答案5.下列命题中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b ，2c成等差数列解析 ∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.C课堂小结1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
3.等差数列的单调性由公差d的正负来决定.返回课件34张PPT。2.1 等差数列 (二)第一章 § 2 等差数列1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 推广的等差数列的通项公式
已知a1求an，则an＝a1＋(n－1)d(n≥1).
已知am求an，则an＝am＋(n－m)d(m≤n).
思考 已知等差数列{an}中的am和an，如何求d?答案 由{an}的通项公式得
an＝a1＋(n－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，
两式相减得an－am＝(n－m)d，答案知识点二 等差数列的性质1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有2.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…….
3.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 .
特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 .
思考 等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝___，a7＝____.答案2613am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap4.等差数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列.
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列，
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列.
(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{ }也是等差数列.
(4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化.返回 题型探究 重点突破题型一 等差数列的性质及应用解析答案例1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.解 方法一 根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.方法二 根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.解析答案反思与感悟解 {an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.反思与感悟跟踪训练1 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；解析答案(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于________.解析 a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.15解析 由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.18题型二 等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解析答案反思与感悟解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则又因为是递增数列，所以d>0，此等差数列为－1,2,5,8或－8,－5,－2,1.三个数或四个数成等差数列的设法.
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量.反思与感悟解析答案跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.解 方法一 设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a＝4，b＝6，c＝8.
这三个数为4,6,8.
方法二 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.题型三 等差数列的综合问题解析答案(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；解析答案(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.解析答案反思与感悟解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组).
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.反思与感悟解析答案跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{ }为递减数列，则( )
A.d<0 B.d>0
C.a1d<0 D.a1d>0解析 设bn＝ ，则bn＋1＝ ，由于{ }是递减数列，
则bn>bn＋1，即 > .∵y＝2x是单调增函数，
∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，
即a1(－d)>0，∴a1d<0.C题型四 等差数列的实际应用
例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析答案反思与感悟解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将亏损.
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，
即an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损.解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.反思与感悟解析答案跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，B解析答案审题不仔细致误易错点例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为________.返回错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a10>0”的同时还表明“a9≤0”这一条件.解析答案误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用.返回 当堂检测123451.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A.5 B.8 C.10 D.14解析 方法一 设等差数列的公差为d，
则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，
所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.B解析答案123452.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－ a8的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，C解析答案123453.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝51C解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴a51＝0＝a3＋a99.解析答案12345解析答案4.下列是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个结论：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列；
其中正确的结论是( )
A.p1，p2 B.p3，p4 C.p2，p3 D.p1，p4解析 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以p1正确；
an＋3nd＝4dn＋a1－d，因4d＞0，所以是递增数列，p4正确，故选D.D12345解析答案5.在等差数列{an}中，已知a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝________.解析 ∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.24课堂小结1.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝ 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
3.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解.但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.返回
