课件35张PPT。2.2 等差数列的
前n项和 (一)第一章 § 2 等差数列1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做 .
a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝ (n≥2)．
思考 由Sn与Sn－1的表达式可以得出
an＝答案Sn－1Sn知识点二 等差数列前n项和公式、推导和认识
1.公式：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为
Sn＝ .
2.若首项为a1，公差为d，
则Sn可以表示为Sn＝ .答案3.推导：(方法：倒序相加法)
过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
∴2Sn＝n(a1＋an)，4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；
②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数.
(3)结论及其应用
已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，
若C＝0，则数列{an}为等差数列；
若C≠0，则数列{an}不是等差数列.解析答案解析 S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝6，
∴a2＝2，
又a1＝4，∴d＝－2.A2.若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为 .知识点三 等差数列前n项和的性质答案m2d4.若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，5.若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，思考 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是________.解析答案解析 设{an}的前3m项和是S，
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m分别为30,70，S－100.
由性质知30,70，S－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S－100)，
∴S＝210.210返回 题型探究 重点突破题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算
例1 在等差数列{an}中.解析答案(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解析答案反思与感悟解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练1 在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；解析答案∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a3＋a15＝40，求S17.解析答案题型二 等差数列前n项和性质的应用
例2 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63解析答案C解析答案D解析答案反思与感悟75(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解.跟踪训练2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63 B.45
C.36 D.27解析答案解析 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45.B解析答案方法二 ∵数列{an}，{bn}均为等差数列，
∴Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.∴令Sn＝tn(2n＋1)，
Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.解析答案∴an＝Sn－Sn－1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n≥2)，
bn＝Tn－Tn－1
＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n≥2).题型三 等差数列前n项和公式在实际中的应用
例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：解析答案(1)第9圈共有多少块石板？解 设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈有石板
a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块).(2)前9圈一共有多少块石板？解析答案反思与感悟解 由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.解析答案跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为2 000返回 当堂检测123451.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48B解析答案∴a1＋a10＝24.123452.在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10等于( )
A.27 B.24 C.29 D.48∴a10＝2＋9×3＝29.C解析答案解析 易知(a3＋a8)2＝9.12345A.－1 B.－11 C.－13 D.－15D解析答案∵an<0，∴a3＋a8＝－3.12345解析答案4.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8解析 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.B12345解析答案5.在等差数列{an}中，an＝2n＋3，则等差数列{an}从第100项到第200项之和S的值为________.解析 ∵a100＝203，30 603课堂小结1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap的应用.
3.本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想.返回课件37张PPT。2.2 等差数列的
前n项和 (二)第一章 § 2 等差数列1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.
2.掌握等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠1.前n项和公式：Sn＝ ＝ n2＋ .2.等差数列前n项和的最值 知识梳理 自主学习知识点一 等差数列前n项和及其最值答案??最大答案最小最小最大知识点二 数列中an与Sn的关系
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为答案S1Sn－Sn－1思考 若Sn＝n2＋n，则an＝________.
解析 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，
∴an＝2n.解析答案2n返回 题型探究 重点突破题型一 已知Sn求an
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列.解析答案反思与感悟解 ∵Sn＝2n2＋3n，∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.
当n＝1时，a1＝S1＝5＝4×1＋1.
∴n＝1时，适合an＝4n＋1.
∴数列的通项公式是an＝4n＋1.
故数列{an}是等差数列.当n＝1适合于an时，则a1可以统一到an(n≥2，n∈N*)的形式中，而不用写成分段函数形式.若n＝1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式.
(2)等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列.跟踪训练1 本例中，若Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是不是等差数列.解析答案解 ∵Sn＝2n2＋3n＋1.∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－2(n－1)2－3(n－1)－1＝4n＋1.
当n＝1时，a1＝S1＝6≠4×1＋1.故数列{an}不是等差数列.题型二 等差数列前n项和的最值问题
例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.解析答案反思与感悟解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，解得d＝－2.解析答案反思与感悟＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.解析答案反思与感悟方法三 ∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法四 设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，反思与感悟∴当n＝13时，Sn取得最大值169.(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用②运用二次函数求最值的方法.解析答案跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.解析答案(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解 方法一 a1＝9，d＝－2，∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.解析答案反思与感悟当n≥2时，an＝Sn－Sn－1解析答案反思与感悟＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an解析答案反思与感悟②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn反思与感悟等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.解析答案跟踪训练3 已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.解析答案②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，解析答案已知Sn求an忽略n＝1的情况易错点例4 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－1，则数列{an}的通项公式为an＝________.误区警示返回错解 an＝Sn－Sn－1＝(n2－1)－[(n－1)2－1]＝2n－1.
答案 2n－1
错因分析 运用an＝Sn－Sn－1求通项公式时，要求n≥2，只有验证n＝1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示.
正解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2－1)－[(n－1)2－1]＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，不符合上式，误区警示根据前n项和Sn＝an2＋bn＋c判断{an}是不是等差数列时，只有当c＝0时是等差数列，否则不是.返回 当堂检测123451.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A.n B.n2 C.2n＋1 D.2n－1解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又因a1＝1符合an＝2n－1，所以，an＝2n－1(n∈N*).D解析答案123452.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①②
C.①③ D.①④解析答案解析 ∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.{Sn}中最大项为S6，④不正确.
故正确的是①②.答案 B 12345解析 由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小.123453.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.6或7解析答案12345解析答案4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.解析 ∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.5或612345解析答案5.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解 ①当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
②当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2).
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，课堂小结1.因为an＝Sn－Sn－1在n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观.返回3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
