课件34张PPT。3.1 等比数列(一)第一章 § 3 等差数列1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 等比数列的概念
1.定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q≠0).
2.数学表达式答案2公比q在数列{an}中，若＝ (n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列.思考1 下列数列一定是等比数列的是________.
(1)1,3,32,33，…，3n－1，…；
(2)－1,1,2,4,8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….解析答案解析 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….所以此数列为等比数列，且公比为3.
(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，….所以此数列不是等比数列.
(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.∴只有(1)一定是等比数列.答案 (1)?答案 不一定.
当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列.思考2 若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？答案等比中项知识点三 等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，该等比数列的通项公式为 .an＝a1qn－1思考 已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝______.解析答案解析 ∵a3＝a1·q2，
∴9＝q2，
∴q＝±3，
∴a2＝a1q＝±3.±3返回 题型探究 重点突破题型一 等比数列的通项公式及应用
例1 在等比数列{an}中.
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；解析答案解 ∵an＝a1·qn－1，
∴4·2n－1＝128，
∴2n－1＝32，
∴n－1＝5，n＝6.(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；解析答案反思与感悟(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解 a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，
∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，
当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.解 a3＝a1q2＝2，
a5＝a1q4＝8，
∴q2＝4，跟踪训练1 在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；解析答案(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.解析答案解 a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
∴q2－1＝3，∴q2＝4，∴a1＝1，
∴a1＝1，q＝±2，
∴an＝a1qn－1＝(±2)n－1.题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列.解析答案反思与感悟证明 由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列.判断一个数列是不是等比数列的常用方法有(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列.解析答案跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.解 ∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.题型三 构造等比数列求数列的通项公式
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；解析答案证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，(2)求数列{bn}的通项公式.解析答案反思与感悟(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}.解析答案跟踪训练3 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ＋6an＋6(n∈N*)，
设cn＝log5(an＋3).
(1)求证：{cn}是等比数列；∴log5(an＋1＋3)＝log5(an＋3)2＝2log5(an＋3)，
即cn＋1＝2cn，
又c1＝log55＝1≠0，∴{cn}是等比数列.解析答案(2)求数列{an}的通项公式.解 由(1)知，
数列{cn}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴cn＝2n－1，
即log5(an＋3)＝2n－1，
∴an＋3＝ .
故an＝ －3.解析答案忽略等比数列中的项的符号致误易错点例4 已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，求 的值.误区警示返回解析答案误区警示又－1，b1，b2，b3，－4成等比数列.错因分析 注意b2的符号已经确定(与－1同号)，忽略这一隐含条件，就易产生上述错误.误区警示正解 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意符号的正负问题.返回 当堂检测123451.在等比数列{an}中，a2 015＝8a2 012，则公比q的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.8解析 a2 015＝8a2 012＝a2 012·q3，
∴q3＝8，∴q＝2.A解析答案12345C解析答案12345A.3 B.4
C.5 D.6B解析答案12345解析答案4.若数列{an}是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有( )解析 ①、②、④、⑤、⑥均为等比数列，共5个.B12345解析答案5.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？解 不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，∴数列{an}不是等比数列.课堂小结1.等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.
(2) 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.2.判断一个数列是不是等比数列的常用方法：
(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法.
3.等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.返回课件34张PPT。3.1 等比数列(二)第一章 § 3 等差数列1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.能够应用等比数列的通项公式、性质解决问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝ ，an＝ (m、n∈N*).
思考1 如何推导an＝amqn－m?答案a1qn－1答案 根据等比数列的通项公式，
an＝a1qn－1，
am＝a1qm－1，
∴ ＝qn－m，∴an＝am·qn－m.am·qn－m思考2 若已知等比数列{an}中，q＝3，a3＝3，则a7＝____.解析答案解析 a7＝a3·q4＝3·34＝35＝243.243知识点二 等比数列的性质
1.如果m＋n＝k＋l，则有 .
2.如果m＋n＝2k，则有am·an＝ .
3.若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
4.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 数列.答案am·an＝ak·al等比6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝ ＝ ＝….答案a2·an－1ak·an－k＋1返回解析答案a7 题型探究 重点突破题型一 等比数列的性质及应用
例1 (1)在等比数列{an}中，若a3a6＝9，a2a4a5＝27，则a2的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.9解析答案解析 因为{an}为等比数列，所以a3a6＝a4a5＝9，
又因为a2a4a5＝27，所以a2＝3.B?解析答案反思与感悟在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.解析答案解析 a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，答案 C(2)已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝______.解析答案解析 由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＞0，
∴a3＋a5＝5.5题型二 灵活设项求解等比数列
例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ ，则此4个数为_______________.解析答案反思与感悟解析 设此4个数为a，aq，aq2，aq3.
则a4q6＝1，解析答案反思与感悟反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.解析答案题型三 等比数列的实际应用
例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数).解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.反思与感悟本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.解析答案跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
(1)求哪一年两林场木材的总存量相等？解 由题意可得
16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，
解得n＝2，
故到2017年两林场木材的总存量相等.解析答案(2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？故到2019年不能翻一番.返回 当堂检测12345解析答案12345解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1(舍).12345解析答案4.已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于( )
A.20 B.18
C.16 D.14解析 由题意可得2a＝4＋12＝16?a＝8，又122＝8b?b＝18.B12345解析答案5.在 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________.8课堂小结1.等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；
偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；
(3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{ }是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列.2.等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，等比数列{an}是递减数列；
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列.
3.等比数列的设项法
(1)一般地，当等比数列的项数为奇数时，可设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称地设其项；返回