课件29张PPT。第二章 § 1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理(一)1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 正弦定理
1.正弦定理的表示答案正弦2.正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径.(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.3.正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：
sin A＝ ，sin B＝ ，
∴c＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .答案答案asin Bbsin A答案asin(π－C)asin Ccsin Acsin A思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；
由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；
由正弦定理可知④正确.故选B.B解析答案知识点二 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
思考 正弦定理能解决哪些问题？
答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.元素解三角形返回解析答案 题型探究 重点突破题型一 对正弦定理的理解
例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.a＝b?sin 2A＝sin 2B解析答案反思与感悟D.正弦值较大的角所对的边也较大则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确.当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误.根据比例式的性质易得C正确.
大边对大角，故D正确.反思与感悟答案 B跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A.a>bsin A B.a＝bsin A
C.a
解析 在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0,1]，解析答案D题型二 用正弦定理解三角形
例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.解析答案解 ∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，解析答案反思与感悟∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.(1)已知两角与任意一边解三角形的方法.
如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边.
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法.
首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.解析答案C解析答案∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，
∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.105°或15°解析答案题型三 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状.∵sin A、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B.
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＋2B＝π或2A＝2B.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.反思与感悟跟踪训练3 在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状.
解 由bsin B＝csin C，得b2＝c2，
∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，
由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC为等腰直角三角形.解析答案返回 当堂检测123451.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中总能成立的是( )
A.asin A＝bsin B B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A解析答案得asin C＝csin A.D6解析答案∴A＝45°或135°.
又∵aC.等腰直角三角形 D.等腰三角形，且有一个角是30°C123456解析 由题acos B＝bsin A，
又由正弦定理asin B＝bsin A，∴sin B＝cos B，
又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.
同理C＝45°.故△ABC为等腰直角三角形.解析答案又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.等腰或直角三角形123456解析答案解析 由tan A＝2，得sin A＝2cos A，123456课堂小结返回2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.课件33张PPT。1.1 正弦定理(二)第二章 § 1 正弦定理与余弦定理1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.理解推广的三角形面积公式，并能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 正弦定理及其变形
1.定理内容： .
2.正弦定理的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝ ；答案a∶b∶c2R2Rsin A2Rsin B2Rsin C知识点二 对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：
(1)代数角度答案0无解1一解1或2(2)几何角度知识点三 三角形面积公式
任意三角形的面积公式为：返回 题型探究 重点突破题型一 三角形解的个数的判断
例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；解析答案∴a讨论如下：解析答案∴bsin Absin A，跟踪训练1 (1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的三角形ABC的个数为________.
解析 因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为一个.
(2)△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________.解析答案1题型二 三角形的面积解析答案反思与感悟求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用.解析答案解析答案又∵C∈(0，π)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，题型三 正弦定理与三角变换的综合应用解析答案反思与感悟解析答案A＋B＝180°－30°＝150°.由①②得sin A＋sin(150°－A)＝2sin 75°cos(75°－A)，反思与感悟解析答案∵A＋B＝150°，∴0°(2)三角形的内角和等于180°，这一特殊性质为三角变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)等，解题中应注意应用.解析答案∴b2－a2＝ab， ①
∵cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝1－(1－2sin2C)，
∴(cos Acos B＋sin Asin B)－(cos Acos B－sin Asin B)＝1－1＋2sin2C，
∴2sin Asin B＝2sin2C，
∴c2＝ab. ②
①②结合得b2－a2＝c2，
∴△ABC是以B为直角的直角三角形. 三角形解的个数的判断中考虑不全面致误易错点解析答案返回误区警示解析答案误区警示误区警示已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解. 返回 当堂检测12345解析答案C解析答案123452.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B.a＝18，b＝20，A＝60°，有一解
C.a＝5，b＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解解析 对A.a＝bsin A，故有一解；
对B.bsin A对C.a>bsin A，故有一解；
对D.A为钝角，且a>b，故有一解.D解析答案12345故a＝b＝1.故填1.1解析答案123454.在△ABC中，lg(sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg(sin C－sin A)，则此三角形的形状是_____三角形.∴sin2C－sin2A＝sin2B，
结合正弦定理得c2＝a2＋b2，
∴△ABC为直角三角形.直角解析答案12345又D是BC边中点，课堂小结返回1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.