课件40张PPT。1.2 余弦定理(一)第二章 § 1 正弦定理与余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式，会利用向量的数量积证明余弦定量.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 余弦定理及其证明平方和平方a2＋c2－2accos B1.余弦定理的表示及其推论答案积的两a2＋b2－2abcos Cb2＋c2－2bccos A答案＝b2－2bccos A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2abccos A.(2)利用坐标法证明
如图，建立直角坐标系，则A ，B ，C (写出三点的坐标)．答案∴a＝BC＝ ＝
，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.(0,0)(ccos A，csin A)(b,0)思考1 在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.解析答案答案思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．知识点二 用余弦定理解三角形的问题
利用余弦定理可以解决以下两类问题：
(1)已知两边及夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形．思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？答案返回答案 不妨设已知a、b、A，方法二 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得边c，而后由余弦或正弦定理求得B、C. 题型探究 重点突破题型一 已知两边及夹角解三角形解析答案反思与感悟解 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C反思与感悟∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好．解析答案D题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形解析答案反思与感悟反思与感悟已知三边(或三边的关系)解三角形的方法及注意事项
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角.
(2)方法1：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角.
方法2：由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小.
(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解.解析答案下同例题解法.题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形解析答案反思与感悟解 方法一 在△ABC中，根据余弦定理可得方法二 在△ABC中，由正弦定理得解析答案反思与感悟反思与感悟因为b
又B∈(0°，180°)，所以B＝30°，
所以C＝180°－A－B＝105°，
所以sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法
可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边.跟踪训练3 已知在△ABC中，b＝ ，c＝3，B＝30°，解此三角形.解析答案返回解 方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得解析答案又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.方法二 由bcsin 30°知本题有两解.∴C＝60°或120°.题型四 余弦定理在实际生活中的应用解析答案反思与感悟例4 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值.解 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，解析答案由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，反思与感悟∴cos θ＝cos(∠ACB＋30°)反思与感悟＝cos ∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.解析答案返回解析答案∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，返回答案 B 当堂检测123451.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcos C
B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A解析答案解析 由余弦定理及其推论知只有A正确.A12345解析答案2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )解析 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos CD12345解析答案?A12345解析答案4.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________.12345解析答案课堂小结1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.返回2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.课件34张PPT。1.2 余弦定理(二)第二章 § 1 正弦定理与余弦定理1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.
2.能应用余弦定理判断三角形形状.
3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 正弦定理及其变形2Rsin A答案2Rsin B2R2Rsin C知识点二 余弦定理及其推论
1.a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .2.cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ .3.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ，c2>a2＋b2?C为钝角；c2思考 以下问题不能用余弦定理求解的是________.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；
(2)已知两角和一边，求其他角和边；
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角；
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(2)返回 题型探究 重点突破题型一 利用余弦定理判断三角形的形状解析答案反思与感悟A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形解析 方法一 在△ABC中，由已知得化简得c2＝a2＋b2.故△ABC为直角三角形.解析答案反思与感悟反思与感悟∴cos Bsin C＝sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C＝0，
∵B∈(0，π)，sin B≠0，∴cos C＝0，
又∵C∈(0，π)，∴C＝90°，
即△ABC为直角三角形.
答案 A一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.跟踪训练1 在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形解析答案B∴a2＋c2－2ac＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形.题型二 正弦、余弦定理的综合应用解析答案(1)a和c的值；由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accos B.得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)cos(B－C)的值.解析答案反思与感悟解 在△ABC中，B∈(0，π)，因为a＝b>c，所以C为锐角，(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.
(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.解析答案(1)求角B；解析答案(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.解 由sin C＝2 sin A及正弦定理得，c＝2a.题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式解析答案反思与感悟证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴2(a2－b2)＝2accos B－2bccos A，
即a2－b2＝accos B－bccos A，故等式成立.反思与感悟(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左?右；右?左或左?中?右三种.
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.解析答案解 由题a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，
整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b，
故等式成立.忽略三角形中任意两边之和大于第三边易错点例4 已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，求k的取值范围.解析答案误区警示错解 ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角.解析答案∴k2－4k－12<0，解得－2∵k为三角形的一边长，∴k>0， ②
由①②知0错因分析 忽略隐含条件k＋k＋2>k＋4，即k>2.误区警示正解 ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角.误区警示∴k2－4k－12<0，解得－2由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)>k＋4，
∴k>2， ②
由①②可知2A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形解析答案整理得a2＝b2，∴a＝b.B6解析答案2.在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sin Csin B，则A等于( )
A.60° B.45° C.120° D.30°解析 由正弦定理得a2－c2－b2＝bc，C又A∈(0，π)，∴A＝120°.123456解析答案D123456解析答案4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是( )解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可.B123456解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，
解得a＝1或a＝－2(舍).解析答案1123456解析答案6.已知△ABC的三边长分别为2,3,4，则此三角形是_______三角形.故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形.钝角123456课堂小结1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系.
2.解决综合问题时应考虑以下两点
(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理.
(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯.3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.返回