1.1.1数列的概念
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课件31张PPT。第一章 §1 数列1.1 数列的概念1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 数列的概念
1.数列与数列的项
按照一定次序排列的一列数叫作 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第 项.
2.数列的表示方式
数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为 ，an是数列的第n项，也叫通项.
答案数列项首n{an}3.数列中的项的性质：
(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.
思考1 数列的项和它的项数是否相同？
答案 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.答案思考2 数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？
答案 数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.答案知识点二 数列的分类
根据数列的项数可以将数列分为两类：
①有穷数列——项数 的数列.
②无穷数列——项数 的数列.
思考 判断正误
数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列( )
解析 数列是有穷数列，共有2n个数.答案有限无限×知识点三 数列的通项公式
如果数列{an}的 与 之间的关系可以用一个式子
an＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的 公式.
思考 数列的通项公式有什么作用？
答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；
(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列；
(3)可以判断一个数是不是数列中的项.答案第n项序号n通项返回 题型探究 重点突破题型一 数列概念的应用
例1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4}；
(2)0,1,2,3,4；
(3)所有无理数；
(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6解析答案反思与感悟解 (1)是集合，不是数列.
(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.
(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.反思与感悟有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.答案跟踪训练1 已知下列数列：
(1)2 004,2 008,2 012,2 016；(6)3,3,3,3,3,3.
其中有穷数列是________，无穷数列是__________.(将正确答案的序号填在横线上)(6)(2)(3)(4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式
例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.解析答案解 分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积.解析答案(3)－1,2，－3,4，…；解 该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.(4)2,22,222,2 222，….解析答案反思与感悟用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：
①先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式.
③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号.
④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.
(1)1,3,7,15,31，…；
解 答案不唯一. 观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.解析答案(2)4,44,444,4 444，…；解 所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间
②整数部分构成奇数列；
③分母为从2开始的自然数的平方；
④分子依次大1.
综合这些特点写出表达式，再化简即可.
由所给的几项可得数列的通项公式为：解析答案解析答案解析答案(5)1,2,1,2,1,2，….题型三 通项公式的应用解析答案(1)计算a3＋a4的值；解析答案∴n(n＋2)＝120，
∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一项？
解 令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或－9(舍).
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.解析答案(2)当n取何值时，an＝0.
解 令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，an＝0.解析答案返回 当堂检测12345解析答案解析 (1)、(2)是无穷数列，(3)、(4)是有穷数列.D12345解析答案解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.A12345解析答案D12345解析答案C12345解析答案B课堂小结1.观察法写通项公式的注意事项
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
2.并非每一个数列均有通项公式，如 的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一.
3.通项公式的应用.返回
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．学习目标知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠栏目索引 知识梳理 自主学习知识点一 数列的概念
1.数列与数列的项
按照一定次序排列的一列数叫作 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第 项.
2.数列的表示方式
数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为 ，an是数列的第n项，也叫通项.
答案数列项首n{an}3.数列中的项的性质：
(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.
思考1 数列的项和它的项数是否相同？
答案 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.答案思考2 数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？
答案 数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.答案知识点二 数列的分类
根据数列的项数可以将数列分为两类：
①有穷数列——项数 的数列.
②无穷数列——项数 的数列.
思考 判断正误
数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列( )
解析 数列是有穷数列，共有2n个数.答案有限无限×知识点三 数列的通项公式
如果数列{an}的 与 之间的关系可以用一个式子
an＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的 公式.
思考 数列的通项公式有什么作用？
答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；
(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列；
(3)可以判断一个数是不是数列中的项.答案第n项序号n通项返回 题型探究 重点突破题型一 数列概念的应用
例1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4}；
(2)0,1,2,3,4；
(3)所有无理数；
(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6解析答案反思与感悟解 (1)是集合，不是数列.
(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.
(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.反思与感悟有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.答案跟踪训练1 已知下列数列：
(1)2 004,2 008,2 012,2 016；(6)3,3,3,3,3,3.
其中有穷数列是________，无穷数列是__________.(将正确答案的序号填在横线上)(6)(2)(3)(4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式
例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.解析答案解 分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积.解析答案(3)－1,2，－3,4，…；解 该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.(4)2,22,222,2 222，….解析答案反思与感悟用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：
①先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式.
③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号.
④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.
(1)1,3,7,15,31，…；
解 答案不唯一. 观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.解析答案(2)4,44,444,4 444，…；解 所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间
②整数部分构成奇数列；
③分母为从2开始的自然数的平方；
④分子依次大1.
综合这些特点写出表达式，再化简即可.
由所给的几项可得数列的通项公式为：解析答案解析答案解析答案(5)1,2,1,2,1,2，….题型三 通项公式的应用解析答案(1)计算a3＋a4的值；解析答案∴n(n＋2)＝120，
∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一项？
解 令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或－9(舍).
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.解析答案(2)当n取何值时，an＝0.
解 令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，an＝0.解析答案返回 当堂检测12345解析答案解析 (1)、(2)是无穷数列，(3)、(4)是有穷数列.D12345解析答案解析 当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.A12345解析答案D12345解析答案C12345解析答案B课堂小结1.观察法写通项公式的注意事项
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
2.并非每一个数列均有通项公式，如 的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一.
3.通项公式的应用.返回