2.2三角形中的几何计算

课件43张PPT。第二章　解三角形§ 2　三角形中的几何
计算1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.
2.培养分析问题、独立解决问题的能力，激发探索精神．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一　三角形常用面积公式及其证明
1.公式
(1)三角形面积公式S＝ .答案?(2)三角形面积公式的推广????a＋b＋c2.证明
(1)三角形的高的计算公式
在△ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A.
借助上述结论，如图，若已知△ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边
上的高CD＝ ，△ABC的面积S＝ .答案bsin A(2)三角形的面积与内切圆
已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为
S＝ .
如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，答案?解析答案又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.60°或120°(2)在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于
________.又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°，解析答案知识点二　多边形的面积
对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决.知识点三　几个常用结论
在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边
(1)若sin 2A＝sin 2B，则 或A＋B＝ ；
(2)若cos A＝cos B，则 ；
(3)若a2>b2＋c2，则△ABC为 ；
(4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为 ；
(5)若a2S＝S△ABD＋S△CDB解析答案∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C，在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A.在△CDB中，由余弦定理得
BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cos C.
∴20－16cos A＝52－48cos C.又A∈(0°，180°)，∴A＝120°，题型二　求平面几何图形中线段的长度
例2　如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；解析答案解　∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°，(2)求AE.解析答案反思与感悟解　在△ABE中，AB＝2，在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键.反思与感悟解析答案跟踪训练2　如图，在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长.解　在△ACD中，由余弦定理，∵C为三角形的内角，
∴C∈(0，π)，题型三　三角形面积的最值问题
例3　已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝( a－b)·sin B，求△ABC面积的最大值.解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟＝R2(sin Acos A＋sin2A)反思与感悟求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值.反思与感悟解析答案跟踪训练3　若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值.解　S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab
＝2ab－(a2＋b2－c2)，
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，
∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cos C)，
即S＝2ab(1－cos C)，解析答案又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cos C＋15＝0，∵a＋b＝2，∴0例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝ (a2＋b2－c2).
(1)求角C的大小；解析答案(2)求sin A＋sin B的最大值.解析答案反思与感悟反思与感悟(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力.
(2)此类问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，当然有时会以向量的知识作为切入点进行破题.反思与感悟解析答案跟踪训练4　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；证明　∵m∥n，∴asin A＝bsin B.∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.解析答案返回解　由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或－1(舍)， 当堂检测1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　)解析　将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，C解析答案123452.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为(　　)∴b＝5.C解析答案123453.设A是△ABC中最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是(　　)D解析答案12345解析答案12345解析　在△ADC中，∵AD＝10，AC＝14，DC＝6，12345解析答案5.已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，求BD的长.12345解　如图，连接BC，在△ABC，由正弦定理知：又∵∠ACD＝90°，由AB⊥BD，AC⊥CD，∠BAC＝120°得∠BDC＝60°.12345课堂小结1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决.解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决.返回(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.
3.与面积有关的三角形综合问题的解决思路.选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决.