2.3解三角形的实际应用举例
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课件47张PPT。§3 解三角形的实际
应用举例第二章 解三角形1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.
2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠知识点一 基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ，一般地讲，基线越长，测量的精确度 .
知识点二 有关的几个术语
1.方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋
转到目标方向线所形成的水平角.如图所示的θ1、θ2即
表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°). 知识梳理 自主学习越高基线答案2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为 (左图)， (右图).30°240°答案3.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.答案4.视角：观测者的两条视线之间的夹角称作 .视角知识点三 解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.
(1)解题思路(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型返回 题型探究 重点突破题型一 测量距离问题
例1 (1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )解析答案解析 根据题意，可得右图.
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
∴C＝45°.答案 D解析答案反思与感悟解 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.在△BCD中，∠DBC＝45°，解析答案反思与感悟反思与感悟求距离问题时应注意的三点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.跟踪训练1 如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？解析答案题型二 测量高度问题
例2 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析答案反思与感悟反思与感悟解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.解析答案跟踪训练2 (1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析答案(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解 在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OB·cos 60°，题型三 测量角度问题
例2 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( －1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解析答案反思与感悟在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A解析答案反思与感悟又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，又∵∠BCD∈(0°，90°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，解析答案反思与感悟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.解析答案跟踪训练3 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?返回解析答案解 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，
乙船行驶距离BC为x n mile，而θ<60°，∴θ＝30°，
∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.返回 当堂检测解析答案1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′
C.北偏西55°33′ D.南偏西34°27′解析 由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.A123456解析答案2.一艘船上午9∶30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/小时.( )123456解析 由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，
∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.答案 D123456解析答案3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东5° B.北偏西10°
C.南偏东5° D.南偏西10°123456解析 由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
答案 B123456解析答案4.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时.123456解析 由题可得右图.
不妨设我舰追上敌舰时在C点.
则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，
∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，∴BC＝28，答案 14123456解析答案5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )123456答案 C123456解析答案6.2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________ m.123456解析 由题意∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，123456课堂小结1.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形应用题常见的两种情况
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
3.测量距离问题包括两种情况
(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.
(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).返回4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.
5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
应用举例第二章 解三角形1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.
2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠知识点一 基线的定义
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做 ，一般地讲，基线越长，测量的精确度 .
知识点二 有关的几个术语
1.方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋
转到目标方向线所形成的水平角.如图所示的θ1、θ2即
表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°). 知识梳理 自主学习越高基线答案2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考 上两图中的两个方向，用方位角应表示为 (左图)， (右图).30°240°答案3.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.答案4.视角：观测者的两条视线之间的夹角称作 .视角知识点三 解三角形应用题
解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.
(1)解题思路(2)基本步骤
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型返回 题型探究 重点突破题型一 测量距离问题
例1 (1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )解析答案解析 根据题意，可得右图.
在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，
∴C＝45°.答案 D解析答案反思与感悟解 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.在△BCD中，∠DBC＝45°，解析答案反思与感悟反思与感悟求距离问题时应注意的三点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.跟踪训练1 如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？解析答案题型二 测量高度问题
例2 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析答案反思与感悟反思与感悟解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.解析答案跟踪训练2 (1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析答案(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解 在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OB·cos 60°，题型三 测量角度问题
例2 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( －1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解析答案反思与感悟在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A解析答案反思与感悟又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，又∵∠BCD∈(0°，90°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，解析答案反思与感悟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.解析答案跟踪训练3 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?返回解析答案解 如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，
乙船行驶距离BC为x n mile，而θ<60°，∴θ＝30°，
∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.返回 当堂检测解析答案1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′
C.北偏西55°33′ D.南偏西34°27′解析 由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.A123456解析答案2.一艘船上午9∶30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/小时.( )123456解析 由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，
∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.答案 D123456解析答案3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东5° B.北偏西10°
C.南偏东5° D.南偏西10°123456解析 由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
答案 B123456解析答案4.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时.123456解析 由题可得右图.
不妨设我舰追上敌舰时在C点.
则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，
∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，∴BC＝28，答案 14123456解析答案5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )123456答案 C123456解析答案6.2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________ m.123456解析 由题意∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，123456课堂小结1.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2.解三角形应用题常见的两种情况
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
3.测量距离问题包括两种情况
(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.
(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).返回4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.
5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.