1.1.1 角的概念的推广
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课件33张PPT。1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1 角的概念的推广 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.明目标、知重点1.角的概念
(1)角的概念：角可以看成是 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所成的图形.填要点·记疑点旋转一条射线端点(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：(3)角的运算：各角和的旋转量等于 .各角旋转量的和逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和.
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.第几象限角α＋k·360°，k∈Z整数个周角探要点·究所然情境导学过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其它角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1 080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 探究点一 角的概念的推广思考1 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？
答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.思考2 如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？
答 －240°；－120°；240°；480°.思考3 经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
答 经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.探究点二 终边相同的角
思考1 在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观察这三个角终边之间的关系？ 角的大小关系？
答 终边相同.相差360°的整数倍.思考2 对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考3 集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？
答 330°；第一或第三象限的角平分线上.小结 (1) 终边相同的角相差360°的整数倍.因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
(2) 终边相同的角不一定相等，但是相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.例1 写出终边在x轴上的角的集合.
解 在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为
S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}.
为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化
S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}.因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，
所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，
即集合S是终边在x轴上的角的集合.
反思与感悟 利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练1 写出终边在y轴上的角的集合.
解 所有与90°终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}.
所有与270°终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 是不是任意角都可以归结为象限角，为什么？
答 不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限.思考2 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.{α|k·360°<α{α|k·360°＋90°<α{α|k·360°＋180°<α{α|k·360°－90°<α(1)－150°；
解 因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
(2)650°；
解 因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)－950°15′.
解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.跟踪训练2 判断下列角的终边落在第几象限内：
(1)1 400°；
解 1 400°＝3×360°＋320°，
∵320°是第四象限角，
∴1 400°也是第四象限角.
(2)－2 015°.
解 －2 015°＝－6×360°＋145°，
∴－2 015°与145°终边相同.
∴－2 015°是第二象限角.例3 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)60°；
解 S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
(－1)×360°＋60°＝－300°，
0×360°＋60°＝60°，
1×360°＋60°＝420°.(2)－21°；
解 S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
0×360°－21°＝－21°，
1×360°－21°＝339°，
2×360°－21°＝699°.(3)363°14′.
解 S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
－2×360°＋363°14′＝－356°46′，
－1×360°＋363°14′＝3°14′，
0×360°＋363°14′＝363°14′.
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，并把最后角的集合化成最简形式.跟踪训练3 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.当堂测·查疑缺 12341.－361°的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限D2.下列各角中与330°角终边相同的角是( )
A.510° B.150° C.－150° D.－390°1234D3.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______.
解析 由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.1234270°4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；
∴终边落在坐标轴上的角的集合：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.1234呈重点、现规律1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少.
1.1.1 角的概念的推广 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.明目标、知重点1.角的概念
(1)角的概念：角可以看成是 绕着它的 从一个位置 到另一个位置所成的图形.填要点·记疑点旋转一条射线端点(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：(3)角的运算：各角和的旋转量等于 .各角旋转量的和逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的和.
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.第几象限角α＋k·360°，k∈Z整数个周角探要点·究所然情境导学过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其它角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1 080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 探究点一 角的概念的推广思考1 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？
答 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.思考2 如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？
答 －240°；－120°；240°；480°.思考3 经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
答 经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.探究点二 终边相同的角
思考1 在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观察这三个角终边之间的关系？ 角的大小关系？
答 终边相同.相差360°的整数倍.思考2 对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考3 集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？
答 330°；第一或第三象限的角平分线上.小结 (1) 终边相同的角相差360°的整数倍.因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
(2) 终边相同的角不一定相等，但是相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.例1 写出终边在x轴上的角的集合.
解 在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为
S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}.
为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化
S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}.因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，
所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，
即集合S是终边在x轴上的角的集合.
反思与感悟 利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练1 写出终边在y轴上的角的集合.
解 所有与90°终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}.
所有与270°终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角
思考1 是不是任意角都可以归结为象限角，为什么？
答 不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限.思考2 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.{α|α＝k·360°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.{α|k·360°<α
解 因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
(2)650°；
解 因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)－950°15′.
解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
反思与感悟 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.跟踪训练2 判断下列角的终边落在第几象限内：
(1)1 400°；
解 1 400°＝3×360°＋320°，
∵320°是第四象限角，
∴1 400°也是第四象限角.
(2)－2 015°.
解 －2 015°＝－6×360°＋145°，
∴－2 015°与145°终边相同.
∴－2 015°是第二象限角.例3 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)60°；
解 S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
(－1)×360°＋60°＝－300°，
0×360°＋60°＝60°，
1×360°＋60°＝420°.(2)－21°；
解 S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
0×360°－21°＝－21°，
1×360°－21°＝339°，
2×360°－21°＝699°.(3)363°14′.
解 S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}.
S中满足－360°≤β<720°的元素是
－2×360°＋363°14′＝－356°46′，
－1×360°＋363°14′＝3°14′，
0×360°＋363°14′＝363°14′.
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，并把最后角的集合化成最简形式.跟踪训练3 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.当堂测·查疑缺 12341.－361°的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限D2.下列各角中与330°角终边相同的角是( )
A.510° B.150° C.－150° D.－390°1234D3.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______.
解析 由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.1234270°4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；
∴终边落在坐标轴上的角的集合：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.1234呈重点、现规律1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少.