1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
文档属性
| 名称 | 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-21 08:14:34 | ||
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文档简介
课件36张PPT。1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.度量角的单位制
(1)角度制
用 作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的
角等于周角的 .填要点·记疑点度(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作弧度.以 为单位来度量角的制度叫做弧度制.
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 .零半径长rad弧度正数负数③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α
的弧度数的绝对值是|α|＝ .2.角度制与弧度制的换算
(1)180°2π360°π(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系180°3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α·R探要点·究所然情境导学初中几何研究过角的度量，规定周角的 作为1°的角.我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在角度制下，当两个
带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制.探究点一 弧度制思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，
∠AOB就是1弧度的角.思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.180°00°－90°π－2－2π－360°1°1规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的弧度数的绝对值是 ，即|α|＝ .
小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.180°2π360°π例1 (1)把67°30′化成弧度；跟踪训练1 将下列角按要求转化：
(1)－22°30′＝______rad；
(2) ＝______度.288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
思考1 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.{α|α＝kπ，k∈Z}思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.例3 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；
解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.(3)－4.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β与α终边相同，又β∈[－4π，0]，当堂测·查疑缺 12341.时针经过一小时，时针转过了( )解析 时针经过一小时，转过－30°，B12342.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4
解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α，C12343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为
_________________.
解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，1234呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.度量角的单位制
(1)角度制
用 作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的
角等于周角的 .填要点·记疑点度(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作弧度.以 为单位来度量角的制度叫做弧度制.
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 .零半径长rad弧度正数负数③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α
的弧度数的绝对值是|α|＝ .2.角度制与弧度制的换算
(1)180°2π360°π(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系180°3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α·R探要点·究所然情境导学初中几何研究过角的度量，规定周角的 作为1°的角.我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在角度制下，当两个
带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制.探究点一 弧度制思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，
∠AOB就是1弧度的角.思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.180°00°－90°π－2－2π－360°1°1规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的弧度数的绝对值是 ，即|α|＝ .
小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.180°2π360°π例1 (1)把67°30′化成弧度；跟踪训练1 将下列角按要求转化：
(1)－22°30′＝______rad；
(2) ＝______度.288探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
思考1 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.{α|α＝kπ，k∈Z}思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.例3 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；
解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.(3)－4.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解 ∵β与α终边相同，又β∈[－4π，0]，当堂测·查疑缺 12341.时针经过一小时，时针转过了( )解析 时针经过一小时，转过－30°，B12342.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4
解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为α，C12343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为
_________________.
解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，1234呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.