1.2.1 三角函数的定义
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课件35张PPT。1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.明目标、知重点1.三角函数的定义
(1)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，那么填要点·记疑点tan α余弦cos α正弦sin α正切对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)角α的正割：sec α＝ ＝ ；
角α的余割：csc α＝ ＝ ；
角α的余切：cot α＝ ＝ .2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一 锐角三角函数的定义思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，cos A，tan A，tan B的值.思考2 如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？思考3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ ，
cos α＝ ，tan α＝ .xy探究点二 任意角三角函数的概念
思考1 任意角三角函数是怎样定义的？
①单位圆定义法：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记
作cos α，即cos α＝ ； 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).xyyx②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距
离为r，则有sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)，其
中r＝ >0.思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关.思考3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.
(3)正弦、余弦、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值.
解 因为x＝2，y＝－3，反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8例2 求下列各角的六个三角函数值.
(1)0；
解 当α＝0时，x＝r，y＝0，
所以sin 0＝0，cos 0＝1，tan 0＝0，
csc 0不存在，sec 0＝1，cot 0不存在；
(2)π；
解 当α＝π时，x＝－r，y＝0，
所以sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0.
csc π不存在，sec π＝－1，cot π不存在；反思与感悟 求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆.跟踪训练2 利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值.探究点三 三角函数在各象限的符号
思考 正统、余弦、正切三种函数的值在各象限的符号会怎样？
答 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例3 判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
解 ∵α是第二象限角.
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)sin 285°cos(－105°)；
解 ∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.跟踪训练3 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.
答案 C当堂测·查疑缺 12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )D12342.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )AD123412344.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是
.{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
1.2.1 三角函数的定义 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.明目标、知重点1.三角函数的定义
(1)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，那么填要点·记疑点tan α余弦cos α正弦sin α正切对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)角α的正割：sec α＝ ＝ ；
角α的余割：csc α＝ ＝ ；
角α的余切：cot α＝ ＝ .2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一 锐角三角函数的定义思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，cos A，tan A，tan B的值.思考2 如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？思考3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ ，
cos α＝ ，tan α＝ .xy探究点二 任意角三角函数的概念
思考1 任意角三角函数是怎样定义的？
①单位圆定义法：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记
作cos α，即cos α＝ ； 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).xyyx②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距
离为r，则有sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)，其
中r＝ >0.思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关.思考3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.
(3)正弦、余弦、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值.
解 因为x＝2，y＝－3，反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8例2 求下列各角的六个三角函数值.
(1)0；
解 当α＝0时，x＝r，y＝0，
所以sin 0＝0，cos 0＝1，tan 0＝0，
csc 0不存在，sec 0＝1，cot 0不存在；
(2)π；
解 当α＝π时，x＝－r，y＝0，
所以sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0.
csc π不存在，sec π＝－1，cot π不存在；反思与感悟 求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆.跟踪训练2 利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值.探究点三 三角函数在各象限的符号
思考 正统、余弦、正切三种函数的值在各象限的符号会怎样？
答 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例3 判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
解 ∵α是第二象限角.
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)sin 285°cos(－105°)；
解 ∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.跟踪训练3 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.
答案 C当堂测·查疑缺 12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )D12342.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )AD123412344.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是
.{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.