1.2.4 诱导公式（1）
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课件33张PPT。1.2 任意角的三角函数
1.2.4 诱导公式(一) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.明目标、知重点1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系填要点·记疑点原点x轴2.诱导公式一～三
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
(3)公式三：sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin α，cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos α，tan[α＋(2k＋1)π]＝tan α，其中k∈Z.－tan αsin αcos αtan α－sin αcos α探要点·究所然情境导学在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一 诱导公式一思考1 诱导公式一是什么？
答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，
tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
思考2 诱导公式一的作用是什么？
答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1 求下列各式的值.(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.
解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.
解 原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称.
角－α与单位圆的交点为P2(x，－y).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？sin(－α)＝－y＝－sin α；即诱导公式二sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？
答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O对称.
P2(－x，－y).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，诱导公式三sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin α，
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan α.思考3 公式三有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.
小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos 225°；(4)cos(－2 040°).
解 cos(－2 040°)＝cos 2 040°
＝cos(6×360°－120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)跟踪训练2 求下列三角函数值.(3)tan(－855°).
解 tan(－855°)＝－tan 855°
＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cos α，反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)当堂测·查疑缺 1231.求下列三角函数的值.
(1)sin 690°；
解 sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°
＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)123(3)tan(－1 845°).
解 tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.123123证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边.123呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
1.2.4 诱导公式(一) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.明目标、知重点1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系填要点·记疑点原点x轴2.诱导公式一～三
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝ ，cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
(3)公式三：sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin α，cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos α，tan[α＋(2k＋1)π]＝tan α，其中k∈Z.－tan αsin αcos αtan α－sin αcos α探要点·究所然情境导学在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一 诱导公式一思考1 诱导公式一是什么？
答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，
tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
思考2 诱导公式一的作用是什么？
答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1 求下列各式的值.(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.
解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.
解 原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称.
角－α与单位圆的交点为P2(x，－y).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？sin(－α)＝－y＝－sin α；即诱导公式二sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？
答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O对称.
P2(－x，－y).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，诱导公式三sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin α，
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan α.思考3 公式三有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.
小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos 225°；(4)cos(－2 040°).
解 cos(－2 040°)＝cos 2 040°
＝cos(6×360°－120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)跟踪训练2 求下列三角函数值.(3)tan(－855°).
解 tan(－855°)＝－tan 855°
＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cos α，反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)当堂测·查疑缺 1231.求下列三角函数的值.
(1)sin 690°；
解 sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°
＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)123(3)tan(－1 845°).
解 tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.123123证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边.123呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.