1.3.1 正弦函数的图象与性质（2）

课件29张PPT。1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1　正弦函数的图象与性质(二) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.明目标、知重点填要点·记疑点1.正弦曲线
从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于 对称；从诱导公式看，sin(－x)＝ 对一切x∈R恒成立.
所以说，正弦函数是R上的 函数.奇原点－sin x2.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得定义域内的_____
_______，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的 .
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 .
3.正弦函数的周期
由sin(x＋2kπ)＝ 知正弦函数y＝sin x是 函数，_________
________都是它的周期，最小正周期是 .2π非零常数T每一个x值f(x＋T)＝f(x)周期最小正周期sin x周期2kπ (k∈Z且k≠0)探要点·究所然情境导学自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.探究点一　周期函数及函数的周期的定义思考1　观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？
答　诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z).当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.思考2　设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？
答　f(x＋2kπ)＝f(x) (k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.
一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
小结　为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).思考3　正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x的周期有哪些？有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？
答　正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.
小结　如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.探究点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的周期
思考　怎样求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期？
答　由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，例1　求下列函数的周期.∵x∈R，∴z∈R，函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，(2)y＝|sin 2x| (x∈R).
解　作出y＝|sin 2x|的图象.跟踪训练1　求下列函数的周期.探究点三　正弦函数的奇偶性
正弦曲线思考1　观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？
答　正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称.
思考2　上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？
答　正弦函数是R上的奇函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，均对一切x∈R恒成立.例2　判断下列函数的奇偶性.∴f(x)是偶函数.(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.解　∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系.跟踪训练2　判断下列函数的奇偶性：解　f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.∵f(x)的定义域不关于原点对称.
∴f(x)是非奇非偶函数.当堂测·查疑缺 1234B12342.下列函数中，周期为π的偶函数是(　　)D12343.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝ .
解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x).
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)
＝f(－1)＝－f(1)＝－2.－21234∴f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.呈重点、现规律1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，
A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝ .
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.