1.3.1 正弦函数的图象与性质（3）
文档属性
| 名称 | 1.3.1 正弦函数的图象与性质（3） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-21 08:12:52 | ||
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文档简介
课件38张PPT。1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.明目标、知重点填要点·记疑点正弦函数的图象和性质(－∞，＋∞)[－1，1]奇2π探要点·究所然情境导学周期性、奇偶性是正弦函数所具有的基本性质，此外，正弦函数还具有哪些基本性质？我们将对此作进一步研究.探究点一 正弦函数的值域及最值问题 正弦曲线：
由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R.思考1 观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x分别为何值时，正弦函数y＝sin x取得最大值1和最小值－1?
答 对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：
(1)y＝sin 2x；(2)y＝sin x＋2；
解 由于函数y＝sin x与函数y＝sin x＋2同时取得最大值或同时取得最小值.因此：(3)y＝(sin x－1)2＋2.
解 设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.
在闭区间[－1,1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，函数y＝(t－1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.在闭区间[－1,1]上，当t＝1时，|t－1|最小，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.反思与感悟 形如f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1,1]上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sin x≤1对值域的影响.跟踪训练1 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域.
解 设t＝sin x，t∈[－1，1]，f(t)＝t2－t＋1.∴当t＝－1，即sin x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；探究点二 正弦函数的单调性
思考 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 正弦函数都是周期函数，且周期是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域.观察图象可知：推广到整个定义域可得：探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性
思考1 怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性？当ω<0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解.例2 不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(2)cos 875°与sin 980°.
解 cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155°＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°
＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
∵sin 65°∴－sin 65°>－sin 80°，
∴cos 875°>sin 980°.反思与感悟 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体.若x的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.解 由题意得sin 2x>0且y＝sin 2x递减.当堂测·查疑缺 1234DB12343.下列不等式中成立的是( )D123412344.求函数y＝f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域.
解 设t＝sin x，则|t|≤1，
f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)
g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.
开口向上，对称轴t＝2不在研究区间(－1，1)内.
g(t)在(－1，1)上是单调递减的，
∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，
g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2，10].
所以y＝f(x)的值域为[2，10].呈重点、现规律1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.明目标、知重点填要点·记疑点正弦函数的图象和性质(－∞，＋∞)[－1，1]奇2π探要点·究所然情境导学周期性、奇偶性是正弦函数所具有的基本性质，此外，正弦函数还具有哪些基本性质？我们将对此作进一步研究.探究点一 正弦函数的值域及最值问题 正弦曲线：
由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R.思考1 观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x分别为何值时，正弦函数y＝sin x取得最大值1和最小值－1?
答 对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：
(1)y＝sin 2x；(2)y＝sin x＋2；
解 由于函数y＝sin x与函数y＝sin x＋2同时取得最大值或同时取得最小值.因此：(3)y＝(sin x－1)2＋2.
解 设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.
在闭区间[－1,1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，函数y＝(t－1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.在闭区间[－1,1]上，当t＝1时，|t－1|最小，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.反思与感悟 形如f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1,1]上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sin x≤1对值域的影响.跟踪训练1 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域.
解 设t＝sin x，t∈[－1，1]，f(t)＝t2－t＋1.∴当t＝－1，即sin x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；探究点二 正弦函数的单调性
思考 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 正弦函数都是周期函数，且周期是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域.观察图象可知：推广到整个定义域可得：探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性
思考1 怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性？当ω<0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解.例2 不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(2)cos 875°与sin 980°.
解 cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155°＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°
＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
∵sin 65°
∴cos 875°>sin 980°.反思与感悟 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体.若x的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.解 由题意得sin 2x>0且y＝sin 2x递减.当堂测·查疑缺 1234DB12343.下列不等式中成立的是( )D123412344.求函数y＝f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域.
解 设t＝sin x，则|t|≤1，
f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)
g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.
开口向上，对称轴t＝2不在研究区间(－1，1)内.
g(t)在(－1，1)上是单调递减的，
∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，
g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2，10].
所以y＝f(x)的值域为[2，10].呈重点、现规律1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.