1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（1）
文档属性
| 名称 | 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-03-21 08:12:31 | ||
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文档简介
课件32张PPT。1.3 三角函数的图象与性质
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.会用“五点法”作出余弦函数的简图.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.明目标、知重点填要点·记疑点正弦函数、余弦函数的图象、性质对比2π[－1，1][－1，1]奇函数偶函数2πRR[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)x＝2kπ (k∈Z)x＝π＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)探要点·究所然探究点一 余弦函数的图象
思考 如何快速做出余弦函数的图象？探究点二 余弦函数的性质
思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y＝cos x的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之.
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.反思与感悟 确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值；
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称.
思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立.小结 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.
解 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称?f(x0)＝0.1.函数f(x)＝cos 4x，x∈R是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数
D.最小正周期为 的奇函数当堂测·查疑缺 1234C12341234答案 A12343.已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.
解 用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.12341234呈重点、现规律2.与正弦曲线类似，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y＝cos x的图象通过变换得到，变换规律相同.
3.在研究y＝Acos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 第一章 基本初等函数(Ⅱ)明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.会用“五点法”作出余弦函数的简图.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.明目标、知重点填要点·记疑点正弦函数、余弦函数的图象、性质对比2π[－1，1][－1，1]奇函数偶函数2πRR[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)x＝2kπ (k∈Z)x＝π＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)探要点·究所然探究点一 余弦函数的图象
思考 如何快速做出余弦函数的图象？探究点二 余弦函数的性质
思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y＝cos x的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之.
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.反思与感悟 确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值；
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称.
思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立.小结 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.
解 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称?f(x0)＝0.1.函数f(x)＝cos 4x，x∈R是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数
D.最小正周期为 的奇函数当堂测·查疑缺 1234C12341234答案 A12343.已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.
解 用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.12341234呈重点、现规律2.与正弦曲线类似，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y＝cos x的图象通过变换得到，变换规律相同.
3.在研究y＝Acos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值.