3.1.1不等关系
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课件28张PPT。第三章 不等式1.1 不等关系
1.2 不等关系与不等式(一)1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.初步学会作差法比较两实数的大小.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 不等关系与不等式
1.不等关系
在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.2.不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确.知识点二 比较大小的依据
(1)比较实数a，b大小的文字叙述
①如果a－b是正数，那么a b；
②如果a－b等于0，那么a b；
③如果a－b是负数，那么a b，反之也成立.
(2)比较实数a，b大小的符号表示
①a－b＞0?a b；
②a－b＝0?a b；
③a－b<0?a b.答案＞＝<＞＝<思考 (1)x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”).解析答案＞解析 x2－x＝x(x－1)
x＞1时，x－1＞0，x＞0，
∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.＜返回 题型探究 重点突破题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解析答案反思与感悟解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.
身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，
身高超过1.4米可表示为h＞1.4，
身高不足1.1米可表示为h＜1.1，解析答案反思与感悟物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.不等式是不等关系的符号表示.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范.如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号.跟踪训练1 如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系.解析答案例2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒.问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解析答案反思与感悟在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.解析答案跟踪训练2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.请写出满足上述不等关系的所有不等式.解 假设截得500 mm的钢管 x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应满足的不等关系为题型二 比较实数(式)的大小
例3 (1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；解析答案解 (1)∵x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号.(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.解析答案反思与感悟解 ∵(5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，比较大小的方法
(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.
作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论.反思与感悟(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.
作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论.
(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断.解析答案跟踪训练3 设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小.返回1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A.a－b>0 B.a－b<0
C.a－b≥0 D.a－b≤0 当堂检测C答案123452.某隧道入口竖立着“限高4.5 m”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( )
A.h<4.5 B.h>4.5
C.h≤4.5 D.h≥4.5C答案123453.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A.5x＋4y＜200 B.5x＋4y≥200
C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200D解析 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.解析答案12345解析答案4.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.与x有关∴M＞N.A123451234解析答案5课堂小结1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2.作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论.
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.返回
1.2 不等关系与不等式(一)1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.初步学会作差法比较两实数的大小.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 不等关系与不等式
1.不等关系
在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.2.不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确.知识点二 比较大小的依据
(1)比较实数a，b大小的文字叙述
①如果a－b是正数，那么a b；
②如果a－b等于0，那么a b；
③如果a－b是负数，那么a b，反之也成立.
(2)比较实数a，b大小的符号表示
①a－b＞0?a b；
②a－b＝0?a b；
③a－b<0?a b.答案＞＝<＞＝<思考 (1)x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”).解析答案＞解析 x2－x＝x(x－1)
x＞1时，x－1＞0，x＞0，
∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.＜返回 题型探究 重点突破题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解析答案反思与感悟解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.
身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，
身高超过1.4米可表示为h＞1.4，
身高不足1.1米可表示为h＜1.1，解析答案反思与感悟物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.不等式是不等关系的符号表示.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范.如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号.跟踪训练1 如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系.解析答案例2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒.问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解析答案反思与感悟在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.解析答案跟踪训练2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.请写出满足上述不等关系的所有不等式.解 假设截得500 mm的钢管 x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应满足的不等关系为题型二 比较实数(式)的大小
例3 (1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；解析答案解 (1)∵x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号.(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.解析答案反思与感悟解 ∵(5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，比较大小的方法
(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.
作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论.反思与感悟(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.
作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论.
(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断.解析答案跟踪训练3 设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小.返回1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A.a－b>0 B.a－b<0
C.a－b≥0 D.a－b≤0 当堂检测C答案123452.某隧道入口竖立着“限高4.5 m”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( )
A.h<4.5 B.h>4.5
C.h≤4.5 D.h≥4.5C答案123453.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A.5x＋4y＜200 B.5x＋4y≥200
C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200D解析 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.解析答案12345解析答案4.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.与x有关∴M＞N.A123451234解析答案5课堂小结1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论.
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.返回