3.2.1一元二次不等式的解法

课件47张PPT。第三章　不等式2.1　一元二次不等式
的解法1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图像法解一元二次不等式.
3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.
4.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一　一元二次不等式的概念解析　①②是，符合定义；
③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；
④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；
⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．思考　下列不等式是一元二次不等式的有________．
①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.解析答案①②知识点二　“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)
的关系思考　一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)答案相同知识点三　一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．知识点四　一元二次不等式的恒成立问题1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是 .
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是 .
3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立?
；k≤f(x)恒成立? .答案a>0且Δ<0a<0且Δ<0k≥f(x)maxk≤f(x)min思考　二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是______________.解析答案(－∞，－1)返回 题型探究 重点突破题型一　一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；解析答案?解析答案(3)－2x2＋3x－2＜0；解　原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.解析答案反思与感悟解　原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为?.解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.跟踪训练1　解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；解析答案解　方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}.(2)(2－x)(x＋3)＜0；解析答案解　原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}.(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).解析答案解　由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.题型二　解含参数的一元二次不等式
例2　解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R).解析答案反思与感悟解　原不等式可化为(ax＋1)(x－1)＜0，
当a＝0时，x＜1；当a＝－1时，x≠1；解析答案反思与感悟综上，
当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；反思与感悟当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；含参数不等式的解题步骤
(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式.解析答案跟踪训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.解　原不等式可化为
(x－a)(x－a2)＞0
讨论a与a2的大小
(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，
x＞a2或x＜a.
(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，
x≠a.解析答案(3)当a2＜a即0＜a＜1时，
x＞a或x＜a2.
综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，
当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，
当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}.题型三　“三个二次”关系的应用
例3　已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.解析答案反思与感悟解　方法一　由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，解析答案反思与感悟方法二　由题意知a＜0，解析答案反思与感悟将方法一中的①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，
即(αx－1)(βx－1)＞0.反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用.解析答案跟踪训练3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.解　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.题型四　不等式恒成立问题
例4　对任意的x∈R，函数f (x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为_________.
解析　由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)＜0，
解得－2＜a＜2.解析答案反思与感悟－2＜a＜2有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图像建立关于参数的不等式求解.解析答案跟踪训练4　对任意a∈[－1,1]，函数f (x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A.1＜x＜3 B.x＜1或x＞3
C.1＜x＜2 D.x＜1或x＞2解析　∵f (x)＞0，
∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，
设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4).∴x＜1或x＞3.答案　B解析答案不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误易错点例5　若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________________.误区警示返回错解　由根与系数的关系得：代入得ax2＋2ax－15a＜0， ①
∴x2＋2x－15＜0， ②
∴(x－3)(x＋5)＜0，∴－5＜x＜3.
答案　{x|－5＜x＜3}错因分析 ①式化为②式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形.解析答案误区警示正解　由根与系数的关系得：误区警示∴ax2＋2ax－15a＜0，
又由解集的形式知a＜0，
∴上式化为x2＋2x－15＞0，
∴(x－3)(x＋5)＞0，
∴x＞3或x＜－5.1.注意隐含信息的提取
有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论.
2.注意“三个二次”的关系
二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点.返回 当堂检测123451.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　②④一定是一元二次不等式.B解析答案A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1
C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－612345B解析答案123453.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________.k≤2或k≥4解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.解析答案12345解析答案4.不等式x2＋3x－4＜0的解集为________.解析　易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4,1).(－4,1)12345解析答案5.已知关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，求实数m的取值范围.解　(1)当m＝0时，原不等式化为－x－1≥0，∴x≤－1，
解集非空.课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；
③由图像得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解.
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13.对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a