3.2.2一元二次不等式的应用

课件35张PPT。第三章　不等式2.2　一元二次不等式
的应用1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一　分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式知识点二　简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f (x)＞0常用数轴穿针引线法(或称穿根法、根轴法、区间法)求解，其步骤是：
(1)将f (x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f (x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；
(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.思考　(x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________________.解析答案解析　利用数轴穿根法{x|1＜x＜2或x＞4}返回 题型探究 重点突破题型一　解分式不等式
例1　解下列不等式：解析答案此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.解析答案反思与感悟∴x＜2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.解析答案反思与感悟反思与感悟解①得x≥5，解②得x＜2，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.反思与感悟解析答案∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，
∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.A题型二　解一元高次不等式
例2　解下列不等式：
(1)x4－2x3－3x2＜0；解析答案解　原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，
当x≠0时，x2＞0，
由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3；
当x＝0时，原不等式为0＜0，无解.
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.(2)1＋x－x3－x4＞0；解析答案解　原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0，
而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0，
∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0，
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}.(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.解析答案反思与感悟解　原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法.反思与感悟解析答案解析　由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)＞0?(x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)＞0?x＜－1或1＜x＜2或x＞6.A.(1,2)
B.(－∞，－1)∪(6，＋∞)
C.(－1,1)∪(2,6)
D.(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)D题型三　二次函数与二次不等式的综合
例3　关于x的一元二次方程kx2＋(k－1)x＋k＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.解析答案反思与感悟解　设f (x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解.反思与感悟解析答案跟踪训练3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；解　由条件，抛物线f (x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，解析答案(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围.解　抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示题型四　一元二次不等式在生活中的应用
例4　某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；解　降低后的征税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%).
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%解析答案(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解析答案反思与感悟解　原计划税收为200a·10%＝20a(万元).化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}.不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.反思与感悟跟踪训练4　在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.解析答案问超速行驶谁应负主要责任.解　由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，
S乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得
x<－40或x>30.
x<－50或x>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.返回 当堂检测12345解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，解析答案∴A∩B＝{x|0＜x≤1}.B123452.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的值的集合是(　　)
A.{a|0C.{a|00时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，
根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.12345解析答案{x|－4＜x＜－3或x＞－1}12345解析答案4.设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立，求a的取值范围.解　原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，
设f (x)＝－x2＋2x＋8，易知f (x)在[1,3]上的最小值为f (3)＝5.
∴a≤5.12345解析答案5.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20).课堂小结1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.返回