3.3.2基本不等式与最大(小)值
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课件29张PPT。3.2 基本不等式与最大(小)值第三章 不等式1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 基本不等式求最值
1.理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当 时，积xy有最
值，且这个值为 .
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当 时，和x＋y有最
值，且这个值为 .答案x＝y大x＝y小2.基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是 ；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
(3)等号成立的条件是否满足.
3.利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正.
(2)和或积为定值.
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.答案正数定值定值知识点二 基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论.返回 题型探究 重点突破题型一 利用基本不等式求最值解析答案∴y的最小值为－2.－2∴xy的最大值为3.解析答案3解析答案反思与感悟D在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.反思与感悟当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，解析答案D解析答案题型二 基本不等式的综合应用解析答案∵x＞1，y＞1，∴ln xln y＞0，∴xy≥e，即xy有最小值为e.答案 C解析答案反思与感悟最值法解答恒成立问题
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：
(1)f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.
(2)f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max.反思与感悟解析答案B(2)函数y＝kx＋2k－1的图像恒过定点A，若点A又在直线mx＋ny＋1＝0上，则mn的最大值为________.解析 y＝k(x＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A(－2，－1)，
代入得－2m－n＋1＝0，
∴2m＋n＝1，解析答案题型三 基本不等式的实际应用
例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.解析答案反思与感悟解 设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab＝9 000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500反思与感悟从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500，
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.反思与感悟解析答案解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则此时t＝8小时.8返回 当堂检测12345解析 A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C.解析答案C12345≥2＋1＝3，解析答案B123453.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 mC解析答案12345解析答案4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为______.解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立.
②当x≤0或x≥2时，
f(x)≤0，
故f(x)max＝2.212345解析答案1课堂小结1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.返回
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 基本不等式求最值
1.理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当 时，积xy有最
值，且这个值为 .
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当 时，和x＋y有最
值，且这个值为 .答案x＝y大x＝y小2.基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是 ；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
(3)等号成立的条件是否满足.
3.利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正.
(2)和或积为定值.
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.答案正数定值定值知识点二 基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论.返回 题型探究 重点突破题型一 利用基本不等式求最值解析答案∴y的最小值为－2.－2∴xy的最大值为3.解析答案3解析答案反思与感悟D在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.反思与感悟当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，解析答案D解析答案题型二 基本不等式的综合应用解析答案∵x＞1，y＞1，∴ln xln y＞0，∴xy≥e，即xy有最小值为e.答案 C解析答案反思与感悟最值法解答恒成立问题
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：
(1)f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.
(2)f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max.反思与感悟解析答案B(2)函数y＝kx＋2k－1的图像恒过定点A，若点A又在直线mx＋ny＋1＝0上，则mn的最大值为________.解析 y＝k(x＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A(－2，－1)，
代入得－2m－n＋1＝0，
∴2m＋n＝1，解析答案题型三 基本不等式的实际应用
例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.解析答案反思与感悟解 设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，ab＝9 000.①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500反思与感悟从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500，
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm2.利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.反思与感悟解析答案解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则此时t＝8小时.8返回 当堂检测12345解析 A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C.解析答案C12345≥2＋1＝3，解析答案B123453.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 mC解析答案12345解析答案4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为______.解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立.
②当x≤0或x≥2时，
f(x)≤0，
故f(x)max＝2.212345解析答案1课堂小结1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.返回