3.4.3简单线性规划的应用
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课件42张PPT。4.3 简单线性规划的应用第三章 § 4 简单线性规划1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.
2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.
3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.
4.会求一些简单的非线性函数的最值．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 图解法解线性规划问题的步骤
用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.知识点二 简单线性规划问题的实际应用
1.线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.
常见问题有：
①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2.解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.返回 题型探究 重点突破题型一 与最大值有关的实际问题
例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解析答案反思与感悟解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元.解析答案反思与感悟(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元.解析答案反思与感悟(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，z＝80x＋120y.解析答案在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图).反思与感悟作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.解得，点M的坐标为(100,400).
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元).
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.反思与感悟解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.解析答案跟踪训练1 某糖果厂生产A，B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)：在每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？解 设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则问题转化为：解析答案作出可行域如图，
其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，
BC：5x＋4y－1 800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800，
即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.题型二 与最小值有关的实际问题解析答案例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？反思与感悟解 将已知数据列成下表：解析答案设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，反思与感悟作出可行域如图所示：解析答案反思与感悟反思与感悟解决线性规划问题应在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制.解析答案跟踪训练2 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？解析答案zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.
故租金最少为36 800元.题型三 实际问题中的整数解问题解析答案反思与感悟例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，反思与感悟在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，
最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，
即该公司可获得的最大利润是2 800元.线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.解析答案返回跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，解析答案O(0,0)为顶点的三角形区域(如图).解析答案返回但注意到x∈N*，y∈N*，故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 当堂检测解析答案12341.某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A.2件，4件 B.3件，3件
C.4件，2件 D.不确定解析 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，1234求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3).答案 B解析答案1234故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.答案 C1234解析答案3.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司应怎样合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝________元.( )
A.4 650 B.4 700 C.4 900 D.5 0001234解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，1234解析答案然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点A(7,5)时，目标函数取得最大值，即zmax＝450×7＋350×5＝4 900元.1234解析答案4.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.1234解析答案解 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则目标函数为：z＝2x＋y.1234作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A时纵截距z最大，即z＝2x＋y取最大值.1234故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大.课堂小结1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.返回
2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.
3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.
4.会求一些简单的非线性函数的最值．学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一 图解法解线性规划问题的步骤
用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.知识点二 简单线性规划问题的实际应用
1.线性规划的实际问题的类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.
常见问题有：
①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2.解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.返回 题型探究 重点突破题型一 与最大值有关的实际问题
例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解析答案反思与感悟解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元.解析答案反思与感悟(2)设只生产书橱y个，可获得利润z元，所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元.解析答案反思与感悟(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，z＝80x＋120y.解析答案在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图).反思与感悟作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.解得，点M的坐标为(100,400).
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元).
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.反思与感悟解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.解析答案跟踪训练1 某糖果厂生产A，B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)：在每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？解 设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则问题转化为：解析答案作出可行域如图，
其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，
BC：5x＋4y－1 800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800，
即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.题型二 与最小值有关的实际问题解析答案例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？反思与感悟解 将已知数据列成下表：解析答案设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，反思与感悟作出可行域如图所示：解析答案反思与感悟反思与感悟解决线性规划问题应在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制.解析答案跟踪训练2 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？解析答案zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.
故租金最少为36 800元.题型三 实际问题中的整数解问题解析答案反思与感悟例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，反思与感悟在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，
最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，
即该公司可获得的最大利润是2 800元.线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.解析答案返回跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，解析答案O(0,0)为顶点的三角形区域(如图).解析答案返回但注意到x∈N*，y∈N*，故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 当堂检测解析答案12341.某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A.2件，4件 B.3件，3件
C.4件，2件 D.不确定解析 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，1234求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3).答案 B解析答案1234故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.答案 C1234解析答案3.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司应怎样合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝________元.( )
A.4 650 B.4 700 C.4 900 D.5 0001234解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，1234解析答案然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点A(7,5)时，目标函数取得最大值，即zmax＝450×7＋350×5＝4 900元.1234解析答案4.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.1234解析答案解 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则目标函数为：z＝2x＋y.1234作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A时纵截距z最大，即z＝2x＋y取最大值.1234故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大.课堂小结1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.返回