第1章 数列章末复习提升
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课件38张PPT。第一章 数 列章末复习提升一、本章知识网络二、知识要点归纳三、题型探究栏目索引四、思想方法总结一、本章知识网络返回 二、知识要点归纳1.求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2).(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.
(5)归纳、猜想、证明法.2.等差、等比数列的性质23.求数列的前n项和的基本方法
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；
(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；
(6)并项求和法：适用于正负相间的数列.返回 三、题型探究题型一 数列的实际应用
例1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；解析答案解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.解析答案c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；解 c6＝a6b6＝2×10＝20所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.解析答案(3)哪一年的规模最大？请说明理由.解 ∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，
bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).解析答案反思与感悟所以第2年的规模最大.解决与数列有关的应用题应注意以下几点：
(1)题目中用到的数列是等差数列还是等比数列.
(2)题目中要求的是数列的项还是和.
(3)所用的数列的首项是哪个？
(4)得出的结论是否符合实际.反思与感悟跟踪训练1 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2014年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2018年年底分红后的资金；解析答案解 设an为(2014＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，
则a1＝2×1 000－500＝1 500，
a2＝2×1 500－500＝2 500，
…，
an＝2an－1－500(n≥2).
所以an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列.
所以an－500＝1 000×2n－1，
所以an＝1 000×2n－1＋500.
a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
所以该企业2018年年底分红后的资金为8 500万元.(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解 由an＞32 500，即2n－1＞32，得n＞6，
所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解析答案解析答案(1)求数列{an}的通项公式；解析答案∴a1＝2λ－1.解析答案反思与感悟∵n∈N*，∴n＝2 002，
故当n＝2 002时，bn最大.反思与感悟反思与感悟数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点.跟踪训练2 已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n).
(1)求f(x)的表达式；解析答案解 ∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.
当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上递减，故存在0＜x1＜x2，使f(x1)＞f(x2)成立；
而当a＝0时，f(x)＝x2在(0＋∞)上递增，不合题意.
故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.(2)求数列{an}的表达式.解 由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，解析答案返回1.转化与化归思想求数列通项
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出. 四、思想方法总结例1 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式.解 an＋1＝2an＋3×2n两边除以2n＋1，得解析答案跟踪训练1 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.解析答案解 设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n) ①
将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，
得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，
等式两边消去2an，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，
两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，
代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n) ②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得，∴{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an－5n＝1×2n－1＝2n－1，
∴an＝2n－1＋5n(n∈N*).2.方程思想
在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(q)，Sn，其中首项a1和公差
d(公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.例2 等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式.解析答案解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.故an＝2n＋1，bn＝8n－1.解析答案解 设数列{an}的公差为d，由题意得1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.
2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.返回课堂小结本课结束更多精彩内容请登录：www.91taoke.com
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2).(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.
(5)归纳、猜想、证明法.2.等差、等比数列的性质23.求数列的前n项和的基本方法
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；
(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；
(6)并项求和法：适用于正负相间的数列.返回 三、题型探究题型一 数列的实际应用
例1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；解析答案解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.解析答案c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；解 c6＝a6b6＝2×10＝20
bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).解析答案反思与感悟所以第2年的规模最大.解决与数列有关的应用题应注意以下几点：
(1)题目中用到的数列是等差数列还是等比数列.
(2)题目中要求的是数列的项还是和.
(3)所用的数列的首项是哪个？
(4)得出的结论是否符合实际.反思与感悟跟踪训练1 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2014年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2018年年底分红后的资金；解析答案解 设an为(2014＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，
则a1＝2×1 000－500＝1 500，
a2＝2×1 500－500＝2 500，
…，
an＝2an－1－500(n≥2).
所以an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
即数列{an－500}是首项为a1－500＝1 000，公比为2的等比数列.
所以an－500＝1 000×2n－1，
所以an＝1 000×2n－1＋500.
a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
所以该企业2018年年底分红后的资金为8 500万元.(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解 由an＞32 500，即2n－1＞32，得n＞6，
所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解析答案解析答案(1)求数列{an}的通项公式；解析答案∴a1＝2λ－1.解析答案反思与感悟∵n∈N*，∴n＝2 002，
故当n＝2 002时，bn最大.反思与感悟反思与感悟数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点.跟踪训练2 已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n).
(1)求f(x)的表达式；解析答案解 ∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.
当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上递减，故存在0＜x1＜x2，使f(x1)＞f(x2)成立；
而当a＝0时，f(x)＝x2在(0＋∞)上递增，不合题意.
故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.(2)求数列{an}的表达式.解 由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，解析答案返回1.转化与化归思想求数列通项
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出. 四、思想方法总结例1 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式.解 an＋1＝2an＋3×2n两边除以2n＋1，得解析答案跟踪训练1 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.解析答案解 设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n) ①
将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，
得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，
等式两边消去2an，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，
两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，
代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n) ②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得，∴{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an－5n＝1×2n－1＝2n－1，
∴an＝2n－1＋5n(n∈N*).2.方程思想
在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(q)，Sn，其中首项a1和公差
d(公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.例2 等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式.解析答案解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.故an＝2n＋1，bn＝8n－1.解析答案解 设数列{an}的公差为d，由题意得1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.
2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.返回课堂小结本课结束更多精彩内容请登录：www.91taoke.com