第2章 解三角形习题课
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课件43张PPT。第二章 解三角形习题课 正弦定理与
余弦定理 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.
2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.
3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠2.a＝ ，b＝ ，c＝ .(化角为边) 知识梳理 自主学习知识点一 正弦定理及其变形2Rsin A2Rsin B2R答案2Rsin C答案1.a2＝ ，cos A＝ .(边角互化)
2.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ，c2>a2＋b2?C为钝角；c2在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有
(1)sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ，
tan(A＋B)＝ ，解析答案返回sin C－cos C－tan C 题型探究 重点突破题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值解析答案(1)求sin∠BAD；解 在△ADC中，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADC·cos B－cos∠ADC·sin B(2)求BD，AC的长.解析答案反思与感悟解 在△ABD中，由正弦定理得在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B所以AC＝7.应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理.当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系.解析答案题型二 判断三角形的形状解析答案反思与感悟例2 在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状.所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形.所以△ABC也是等腰三角形.
综上所述，△ABC是等腰直角三角形.(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化.但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定.
(2)常用的几种转化形式：
①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；
②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；
③若cos A>0且 cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；
④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；
⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；
⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.解析答案解 由已知设a－2＝x，则b＝2x，c＋2＝3x，
所以a＝2＋x，c＝3x－2，解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10，
所以a2＋b2＝c2，所以三角形为直角三角形.题型三 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用解析答案(1)求A的度数.4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，即4cos2A－4cos A＋1＝0，
∴(2cos A－1)2＝0，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.解析答案反思与感悟本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.解析答案题型四 有关创新型问题解析答案反思与感悟例4 已知x>0，y>0，且x2－xy＋y2＝1，求x2－y2的最大值与最小值.解 构造△ABC，使AB＝1，BC＝x，AC＝y，C＝60°，
由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
∴1＝x2＋y2－xy，即x，y满足已知条件，解析答案反思与感悟∵0°y＝Asin(ωx＋φ)的值域的问题.跟踪训练4 已知x、y均为正实数，且x2＋y2－3＝xy，求x＋y的最大值.解析答案解析答案∴x＝2sin A，y＝2sin B，
∴x＋y＝2(sin A＋sin B)
＝2[sin A＋sin(120°－A)]约分忽略因式为0的情况致误易错点解析答案误区警示即acos A＝bcos B.整理得c2(a2－b2)＝a4－b4＝(a2－b2)(a2＋b2)，
∴c2＝a2＋b2，
∴△ABC为直角三角形.解析答案误区警示错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0得a＝b或a2＋b2＝c2，而不是a＝b且a2＋b2＝c2.即acos A＝bcos B.解析答案误区警示整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
即a＝b或a2＋b2＝c2.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.误区警示在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性.跟踪训练5 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；解析答案解 由2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即 a2＝b2＋c2＋bc，∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°.(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状.解析答案解 由(1)得a2＝b2＋c2＋bc，由正弦定理得
sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.∵B、C∈(0°，90°)，∴B＝C＝30°，
∴△ABC为等腰三角形.返回 当堂检测123451.在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( )解析答案解析 在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角.
所以c2＞a2＋b2＝1＋4＝5，C12345解析答案2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形解析 ∵c＝2acos B ，由正弦定理得
2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
又∵－π∴△ABC是等腰三角形.CA.19 B.14 C.－18 D.－1912345解析答案D解析 由余弦定理的推论知：12345解析答案∴c＝2，212345解析答案∴sin Acos B－sin Bcos A＝0，
∴sin(A－B)＝0，
∵A，B∈(0，π)，∴A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，∴A＝B.
同理B＝C，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形.等边课堂小结1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).
对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.返回2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.
余弦定理 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.
2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.
3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠2.a＝ ，b＝ ，c＝ .(化角为边) 知识梳理 自主学习知识点一 正弦定理及其变形2Rsin A2Rsin B2R答案2Rsin C答案1.a2＝ ，cos A＝ .(边角互化)
2.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ，c2>a2＋b2?C为钝角；c2
(1)sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ，
tan(A＋B)＝ ，解析答案返回sin C－cos C－tan C 题型探究 重点突破题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值解析答案(1)求sin∠BAD；解 在△ADC中，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADC·cos B－cos∠ADC·sin B(2)求BD，AC的长.解析答案反思与感悟解 在△ABD中，由正弦定理得在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B所以AC＝7.应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理.当题目中出现多个三角形时，应注意弄清每一个三角形中的边角关系，并分析这几个三角形中的边角之间的联系.解析答案题型二 判断三角形的形状解析答案反思与感悟例2 在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状.所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形.所以△ABC也是等腰三角形.
综上所述，△ABC是等腰直角三角形.(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化.但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定.
(2)常用的几种转化形式：
①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；
②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；
③若cos A>0且 cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；
④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；
⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；
⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.解析答案解 由已知设a－2＝x，则b＝2x，c＋2＝3x，
所以a＝2＋x，c＝3x－2，解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10，
所以a2＋b2＝c2，所以三角形为直角三角形.题型三 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用解析答案(1)求A的度数.4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，即4cos2A－4cos A＋1＝0，
∴(2cos A－1)2＝0，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.解析答案反思与感悟本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.解析答案题型四 有关创新型问题解析答案反思与感悟例4 已知x>0，y>0，且x2－xy＋y2＝1，求x2－y2的最大值与最小值.解 构造△ABC，使AB＝1，BC＝x，AC＝y，C＝60°，
由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
∴1＝x2＋y2－xy，即x，y满足已知条件，解析答案反思与感悟∵0°
∴x＋y＝2(sin A＋sin B)
＝2[sin A＋sin(120°－A)]约分忽略因式为0的情况致误易错点解析答案误区警示即acos A＝bcos B.整理得c2(a2－b2)＝a4－b4＝(a2－b2)(a2＋b2)，
∴c2＝a2＋b2，
∴△ABC为直角三角形.解析答案误区警示错因分析 利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0得a＝b或a2＋b2＝c2，而不是a＝b且a2＋b2＝c2.即acos A＝bcos B.解析答案误区警示整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
即a＝b或a2＋b2＝c2.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.误区警示在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性.跟踪训练5 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；解析答案解 由2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即 a2＝b2＋c2＋bc，∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°.(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状.解析答案解 由(1)得a2＝b2＋c2＋bc，由正弦定理得
sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.∵B、C∈(0°，90°)，∴B＝C＝30°，
∴△ABC为等腰三角形.返回 当堂检测123451.在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( )解析答案解析 在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角.
所以c2＞a2＋b2＝1＋4＝5，C12345解析答案2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形解析 ∵c＝2acos B ，由正弦定理得
2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
又∵－π
∴sin(A－B)＝0，
∵A，B∈(0，π)，∴A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，∴A＝B.
同理B＝C，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形.等边课堂小结1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).
对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.返回2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.