第2章 解三角形章末复习提升
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课件40张PPT。第二章 解三角形章末复习提升一、本章知识网络二、题型探究三、思想方法总结栏目索引一、本章知识网络返回二、题型探究题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
1.解三角形的四种类型2.三角形解的个数的判断
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解.(1)求边长a；解析答案sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C(2)设AB中点为D，求中线CD的长.解 由余弦定理得所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.
在△BCD中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cos B解析答案∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.
在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件，应用正弦定理得解析答案题型二 判断三角形的形状
1.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法
方法一：通过边之间的关系判断形状；
方法二：通过角之间的关系判断形状.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系.2.判断三角形的形状时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.解析答案又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°.
由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)，∴sin(A－B)＝0，
又∵A－B∈(－180°，180°)，∴A－B＝0°，
∴A＝B＝C＝60°，
∴△ABC为等边三角形.跟踪训练2 在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状.解析答案解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)
＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos Asin B)，
∴2b2sin Acos B－2a2cos Asin B＝0，解析答案又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.题型三 正弦、余弦定理的实际应用
正弦、余弦定理的实际应用应注意的问题
(1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累；
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
例3 如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个
声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继
收到这一信号，在当时气象条件下，
声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；解析答案解 由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km).
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km).解析答案解 作PD⊥a于D，
在Rt△PDA中 ，
PD＝PAcos∠APD所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.跟踪训练3 如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，则行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离.解析答案解 设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处.解析答案此时BC＝21－9t，
在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，
∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝63t2－252t＋441则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2(9t－21)·6t·cos 60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.＝63(t－2)2＋189.题型四 与三角形有关的综合问题
该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.(1)求角C；解析答案解 ∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.(2)求a，b的值.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，解析答案∴a＋b＝13. ②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.解 由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，解析答案跟踪训练4 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；∴a＝2sin A，b＝2sin B，解析答案返回 三、思想方法总结1.函数与方程思想的应用
与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例1 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长.解析答案由余弦定理及a＋c＝8，得解析答案2.分类讨论思想
某些问题在一定条件下的解有多种情况，在解题过程中，应分析条件及在每个条件下所产生的结果.分类讨论思想在历年高考中是必考的，在讨论时应做到不重不漏，并注意各种情况包含的交叉内容.解析答案解 由题可知a综上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sin A＞sin B.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课堂小结3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.
4.思想方法：
(1)函数与方程思想；(2)分类讨论思想.返回
1.解三角形的四种类型2.三角形解的个数的判断
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解.(1)求边长a；解析答案sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C(2)设AB中点为D，求中线CD的长.解 由余弦定理得所以c＝2，又因为D为AB的中点，所以BD＝1.
在△BCD中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cos B解析答案∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.
在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由已知条件，应用正弦定理得解析答案题型二 判断三角形的形状
1.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法
方法一：通过边之间的关系判断形状；
方法二：通过角之间的关系判断形状.
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系.2.判断三角形的形状时常用的结论
(1)在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A
由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径)，∴sin(A－B)＝0，
又∵A－B∈(－180°，180°)，∴A－B＝0°，
∴A＝B＝C＝60°，
∴△ABC为等边三角形.跟踪训练2 在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状.解析答案解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)
＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos Asin B)，
∴2b2sin Acos B－2a2cos Asin B＝0，解析答案又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.题型三 正弦、余弦定理的实际应用
正弦、余弦定理的实际应用应注意的问题
(1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累；
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
例3 如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个
声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继
收到这一信号，在当时气象条件下，
声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；解析答案解 由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km).
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km).解析答案解 作PD⊥a于D，
在Rt△PDA中 ，
PD＝PAcos∠APD所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.跟踪训练3 如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，则行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离.解析答案解 设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处.解析答案此时BC＝21－9t，
在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，
∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝63t2－252t＋441则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2(9t－21)·6t·cos 60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.＝63(t－2)2＋189.题型四 与三角形有关的综合问题
该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.(1)求角C；解析答案解 ∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.(2)求a，b的值.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，解析答案∴a＋b＝13. ②
由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.解 由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，解析答案跟踪训练4 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；∴a＝2sin A，b＝2sin B，解析答案返回 三、思想方法总结1.函数与方程思想的应用
与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例1 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长.解析答案由余弦定理及a＋c＝8，得解析答案2.分类讨论思想
某些问题在一定条件下的解有多种情况，在解题过程中，应分析条件及在每个条件下所产生的结果.分类讨论思想在历年高考中是必考的，在讨论时应做到不重不漏，并注意各种情况包含的交叉内容.解析答案解 由题可知a
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课堂小结3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.
4.思想方法：
(1)函数与方程思想；(2)分类讨论思想.返回