江西省宜春中学2017届高三3月月考数学（理）试题

江西省宜春中学2016-2017学年度高三下学期3月月考数学（理）试卷
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
1.设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则 UA=（　　）
A．{x|1＜x≤2}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2}
D．{x|x≤2}
2.已知复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（　　）
A．2﹣i
B．1+2i
C．﹣1+2i
D．﹣1﹣2i
3.已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则 等于（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）
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A．6
B．8
C．10
D．12
5.在一个不透明的袋子里，有三个大小相等
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A．
B．
C．
D．无法确定
6.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（　　）
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A．
B．
C．
D．
7.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8.将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（　　）
A．
B．﹣
C．
D．
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若，，则
D．若，，则
10.已知椭圆的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），离心率e=，若点P在椭圆上，且=，则∠F1PF2的大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
11.设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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12.若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为，则b的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2]
B．[﹣10，10]
C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，的夹角为，且|=1，，
|=　
　．
14.（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为　
　．
15.已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为　
　．
16.设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则____
三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．
18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．
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（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．
19.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：
(1)打满4局比赛还未停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．
　令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
20.如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；
（1）若k=1，，求|OM|的值；
（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；
（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．
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21.已知函数f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．
（1）若函数f（x）在[，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）若f′（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；
（3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．
22.选修4-1几何证明选讲如图，正方形A
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（1）求证：AE=EB；
（2）求EFFC的值．
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23.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．
24.选修4-5不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证：
++≥1．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
B
C
C
B
C
C
D
A
A
13.3
14.16
15.7
16.11
17.解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：
即，
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…
∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c…
∴a，c，b成等差数列．…
（Ⅱ）
∴ab=8…
c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2﹣ab
=（a+b）2﹣3ab
=4c2﹣24．…
∴c2=8得…
18.【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
①
又∵AB⊥AD，AB∥CD，
∴CD⊥AD
②
由①②可得
CD⊥平面PAD
又CD 平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD
（2）解：当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．
证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF
易得EF是△PCD的中位线
∴EF∥CD，EF=CD
由题设可得
AB∥CD，AF=CD
∴EF∥AB，EF=AB
∴四边形ABEF为平行四边形
∴BE∥AF
又BE 平面PAD，AF 平面PAD
∴BE∥平面PAD
19.
(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止
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20.解：（1）因为，所以|OP|=，
因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，
所以|OM|==；
（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，
所以|OM|=，
所以△OMP的面积为××=，
所以；
（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，
设直线OA的倾斜角为α，则，
根据题意得
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代入
化简得动点T轨迹方程为．
21.解：因为f'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…
（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣ex
根据题意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣ex＞0在上有解
…
即在上有解，令，故只需
所以，所以，当时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减，
所以g（x）min=g（1）=e，所以
a＞e…
（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex
由题可知，h'（x）=0有两个根x1，x2，即2ax﹣ex=0有两个根x1，x2，
又x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，…
设φ（x）=，则φ′（x）=，当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．
故要使方程2a=有两个根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，
所以a的取值范围是（，+∞），
（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…
且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…
所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），
令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），则r′（t）=et（）＜0，
r（t）在（0，1）上单调递减，
所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…
22.【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，
而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线
依据切割线定理，得EA2=EFEC…
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB2=EFEC…
故AE=EB…
（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，
∴BF⊥EC
在RT△EBC中，有…
又在Rt△BCE中，
由射影定理得EFFC=BF2=．…
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23.解：（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1）
将曲线C2：ρ=4sinθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）
由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为；
（Ⅱ）由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲线C1是以C1（1，0）为圆心，半径为1的圆，
由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲线C2：是以C2（0，2）为圆心，半径为2的圆．
∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，
∴当|AB|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，
∴直线AB（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．
∵O到直线AB的距离为，
又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+，
∴△AOB的面积为．
24.（Ⅰ）解：函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|=
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函数的图象如图所示，则函数的值域为（﹣∞，1]；
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（Ⅱ）证明：由题意x，y，z均为正实数，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（++）≥（y+z+z）2=1，
∴++≥1．