课件18张PPT。第1章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。背景知识锐角三角函数复习引入，回想再认 定义域探究： 1：你能用点P的坐标来表示锐角三角函数吗？ 问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？ 问3：你能选出适当的点使表达式简化吗？步步为营，层层深入1 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。 同样的，怎样利用单位圆来定义任意角的三角函数呢？单位圆的定义1··任意角终边的位置情况任意角三角函数的定义OxP(x，y)统称为三角函数一般地，对任意角 ，我们规定：（1）比值 叫做 的正弦，记做sin ,即sin =y（x≠0）（2）比值 叫做 的余弦，记做cos ,即cos =（3）比值 叫做 的正切，记做tan ,即tan = 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
三角函数值的符号问题正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。正切值 对于第一、三象限的角是正的，
对于第二、四象限的角是负的。三角函数全为正正弦为正正切为正余弦为正Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函数值的符号问题例3 确定下列各三角函数值的符号：
(1) (2)cos1300 ； (3) (2) ∵1300是第二象限角，∴ cos1300 <0 (3) 是第二象限角,RR在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下：A(1,0)1.任意角的三角函数的定义和定义域；
小结3.利用定义求任意角的三角函数值.
课件19张PPT。第1章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.（回忆）锐角三角函数（直角三角形中） 2.锐角三角函数（直角坐标系中）.思 考3.锐角三角函数（在单位圆中）那么这样的点的轨迹是什么呢？4.用单位圆定义任意角的三角函数（１）（３）（２）任意角的三角函数的定义过程：解：在直角坐标系中，所以 作于是，5.利用角的终边上任意一点定义角的三角函数+++++所以 证明：公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等.（2）（3）解：（1） 练习：求下列三角函数值.小结：（1）任意角的三角函数的定义；（2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号；（3）公式一及其应用；
（4）体会定义过程中体现的数形结合的思想.课件23张PPT。第1章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系问题:是否存在同时满足下列三个条件的角 ?任意角的三角函数MT 有向线段MP、OM、AT,分别叫做角 的正弦线、
余弦线、正切线，统称为三角函数线.（1） 叫做 的正弦，记作 ，即
（2） 叫做 的余弦，记作 ，即
（3） 叫做 的正切，记作 ，即
探究 同一个角的不同三角函数之间的关
系如何?=MP=OM=AT同角三角函数的基本关系平方关系:商数关系: 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切.“同角”二层含义:一是”角相同”,
二是”任意”一个角.几点说明：（1）此关系式是对于同角而言的．如： （2）此关系式是对于式子两边都有意义的角而
言的．（3）注意某些变式的运用．如： （4）区别 与 的意义．问题:是否存在同时满足下列三个条件的角 ?不存在同角三角函数关系式的应用 教材例1 已知 ，且 是第二象限角，求 ， 的值．解析见课本 已知 ,求 的值. 引申：从而解:因为 , 所以 是第三或第四象限角.由 得如果 是第三象限角,那么如果 是第四象限角,那么练习1.已知 ,求 的值.例:解：练习：(1)(2) 教材例3 化简 ，其中 是第二象限角。
关于化简:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:
(1)所含的三角函数种类最少;
(2)能求值的尽量求值;
(3)结果的次数最低.练习：练习：教材例4.求证恒等式证明常用方法?证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程：证明方法:(1)左-右=0(2)由左往右证(3)由右往左证(4)两面夹证明1：证明2：证明3见书1.证明方法:(2)由左往右证(3)由右往左证(4)两面夹2.技巧:证明恒等式的方法(1)左-右=0练习求证小结:2.同角三角函数关系的基本关系的应用，1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系，发现规律。(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.规律的应用(1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;课件18张PPT。第1章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系复习提问:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则0不存在0不存在010-1010-10100请说出空格中的值 由任意角的三角函数的定义:设α是一个任意角，它的终边上一点P(x,y)，P到原点的距离为r,
则sinαcosαP(x，y)tanα它们之间有
什么关系?思考:同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系说明 （1） 对一切 恒
成立； 仅对
时成立。
（2）同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里的“同角”与角的表达形式无关。常用变形：在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用和变用.同角三角函数的基本关系式从解决例题的过程中发现:基本关系式的等价形式它们的应用也极为广泛.因此,对于同角基本关系式有三用:
正用、逆用、变形用.变形:已知 ，求 的值。解：因为 ，所以 是第三或
第四象限角.若 是第三象限角，则 ，所以所以若 是第四象限角，则解题总结已知一个角的一个三角函数值求其它三角函数值，若已知角的象限，只有一解；若不能确定角所在的象限，要分类讨论。
注意公式的变形使用（灵活运用）。．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值，能够灵活运用同角三角函数的基本关系式；
．注意解题过程中分类讨论（角所在的象限不确定时） 、转化（“1”的代换）的思想方法。课堂小结：1.同角三角函数基本关系是什么？2.如何由一个已角的函数值，求出其它函数值？3.在进行函数值计算时要注意什么问题？4.同角三角函数关系有哪些应用？（1） 对一切
恒成立； 仅对
时成立。
（2）同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里的“同角”与角的表达形式无关。注意:2.常用变形：在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用和变用.课件33张PPT。第1章 三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式一、复习1,利用单位圆表示任意角α的三角函数值如左图，由定义，都有： sinα= y cosα= x tanα= y/x由此可得到:诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z思考:
终边相同的角的三角函数值有什么关系?公式一可以用弧度表示为：公式一有什么作用呢？ 能把００～３６００外的角的三角函数值，化为００～３６００间的角的三角函数求值来求．
能否再把 ～ 间的角的三角函数的值，化为我们熟悉的 ～ 间的角的三角函数求值问题呢？ 如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，下面就来讨论这一问题．二、引入公式一的用途任意角的三角函数值0 ° ~ 360 °角的三角函数值0 ° ~ 90 °角的三角函数值本节课的内容（1）0 ° ~ 90 °角的三角函数值用何法可求得？（2）90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系？设0°≤α≤90 °，那么，对于
90°~ 180 °间的角，β可表示成：180 °-α;
180°~ 270 °间的角，β可表示成：180 °+α;
270°~ 360 °间的角，β可表示成：360 °-α;请思考：1，研究180 °+α与α的三角函数值的关系（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，
位置关系如何？（2）任意角α与180 °+α呢？180 °+α180 °+α的终边180 °+α的终边三、公式的推导1，研究180 °+α与α的三角函数值的关系由分析可得：因此，可得：公式二公式二的作用是什么呢？2，研究 -α与α的三角函数值的关系三、公式的推导-α的终边因此，可得：公式三公式三的作用是什么呢？
三、公式的推导 用－α去代替公式二中的α，再由公式三可得到一个什么样的关系式？可得公式四: α+2kπ( k∈Z),-α,π±α的三等于α的
同名三角函数值,前面加上一个把个锐角时,
原函数所在象限的符号.
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
一般可按下面步骤进行公式一：公式二： sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα总结公式三：公式四：α+2kπ( k∈Z),-α,π±α的三角函数于α的
同名三角函数值,前面加上一个把α看成一角时,
原函数所在象限的符号(4)sin(12000)·cos(12900)+cos(-10200)·sin(-10500)+tan9450
(4)1/2(3)0巩固练习:化归:负化正,大化小. 1.求下列三角函数的值
(1)sin(-12000) (2)cos(47/6)π
(3)cos(π/5)+cos(2π/5)+cos(3π/5)+cos(4π/5)18 下面我们来研究α与π/2－α的三角函数值之间的关系设α是锐角,它的终边与单位圆的交点为 P(x,y),则π/2－α的终边与单位圆的交点为 P1(y,x),由三角函数的定义知:
sin(π/2－α)=x
cos(π/2－α)=y π/2±α的三角函数值等于α的余函数(正弦函数与余弦函数互为余函数)值,前面加上把α看成是锐角时原函数所在象限的符号.利用单位圆和三角函数的定义也可以得到公式(六)例题选讲 π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的余函数(正弦函数与余弦函数互为余函数)值,前面加上把α看成是锐角时原函数所在象限的符号.
-tanα1、诱导公式：(公式一到六)口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：2、求任意角的三角函数值的步骤：任意角的三角函数相应正角的三角函数 角的三角函数锐角的三角函数三角函数值查表思想: 化归方法:负变正,大变小.1 已知sin(?/4+?)=1/2,则sin(3?/4-?)的
值是 。1/20 例3:已知cos (750+?)=1/3,
求cos(1050-?)+cos(2850-?)2 cos(?-8?/3)+cos(?+13?/3)= .巩固练习:0例4: 已知sin(x+?/6)=1/4
求sin(7?/6+x)+sin2(5?/6-x)的值。解:∵sin(7π/6+x)=sin(π+π/6+x)
=-sin(π/6+x)=-1/4 又因为sin(5π/6-x)=sin[π-(5π／６-x)]
=sin(x+π/6)=1/4所以，原式＝－３／１６转化思想化归变形:1.已知sin(?/4+?)=1/2,则sin(3?/4-?)的
值是 。2.cos(?-8?/3)+cos(?+13?/3)= .3.已知角?的终边上的一点P(3a,4a) (a<0)
则cos(5400-?)的值是 。
巩固练习:03/51/22:关于诱导公式的运用问题 在诱导公式运用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用和变用.要做到灵活运用．如何才能做到灵活运用？心中有公式，用时想公式，必要时变公式1、诱导公式：(公式一到六)口诀：奇变偶不变，符号看象限课堂小结:
