课件13张PPT。第1章 三角函数1.3.1 三角函数的周期性（一）情境引入
1．问题：
（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理学中的单摆振动、圆周运动中质点运动，规律如何呢？
2．我们学过的函数中哪些函数也具有这种“周而复始”的基本特征呢？怎样从数学的角度研究函数的周期现象呢？（二）意义建构
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同．即有
sin（2π＋x）＝sinx，
cos（2π＋x）＝cosx，
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．（三）数学理论
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．?判断下列说法是否正确√× ?对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。?正弦函数和余弦函数的最小正周期
都是?一个周期函数的周期有多少个？若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期;(2)求t=10s时钟摆的高度?应用例2．求函数 的周期 解：设f (x)周期为T，则f (x+T)=f (x),
即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立.令u=2x,则cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立.可知使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的2T的最小正值为2?,可知2T=2?,即T=?.所以f (x)=cos2x的周期为?.由y=cosu的周期为2?,一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是?通过我们刚才的研究知道 y=sinx,
y=cosx是周期函数，周期都 是 ，那么下列函数的周期是多少呢？?应用 2.若函数 的最小
正周期为 ，求正数 的值。1.求下列函数的最小正周期函数y=tanx是周期函数吗？那么它的周期是多少？它有最小正周期吗？它的最小正周期是多少？?思考函数y=tan(ax)(a>0)是周期函数吗？?思考1.下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？
3.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？
2.已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).课件13张PPT。第1章 三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质(1).列表(2).描点(3).连线用描点法作函数图象的主要步骤有什么？描点PMAT正弦线MP余弦线OM正切线AT想一想?三角问题几何问题11. . . .利用三角函数线
作三角函数图象几何法：怎样才能方便地把单位圆中角x的正弦线移到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx)呢？
作三角函数线得三角函数值,描点 连线.作法:(1) 等分(2) 作正弦线(3) 平移得点(4) 连线因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在
……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在
……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同正弦曲线余弦曲线与x轴交点图象最高点图象最低点与x轴交点图象最高点图象最低点图象中关键点简图作法
(五点作图法)(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(2) 描点(定出五个关键点)(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)解:列表描点作图例2 画出函数y= - cosx，x?[0, 2?]的简图： 0 ? 2 ?10-101 -1 0 1 0 -1 y= - cosx，x?[0, 2?]y=cosx，x?[0, 2?] 0 ? 2 ? 练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x?[0, 2?] 和 y= cosx，x?[ , ]的简图：y=sinx，x?[0, 2?]y= cosx，x?[ , ] 向左平移 个单位长度100-10 0 ? 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.y=sinx，x?[0, 2?]y=cosx，x?[0, 2?]课件24张PPT。第1章 三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质问题1怎样作出正弦函数 的图象呢？(1).列表(2).描点(3).连线１、用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？思考1 当给定一个角 时，我们如何精确地、方便直观地将它的正弦值 表示出来呢? 2、sinα、cosα的几何意义.PM正弦线 MP余弦线 OM三角问题几何问题－11---作法:(1) 等分(2) 作正弦线(3) 平移(4) 连线-正弦曲线结合正弦函数图象的作法,余弦函数的图象又应该如何去作呢？问题2余弦曲线正弦曲线 在精确度要求不高时,如何快速地作出正弦、余弦函数在 上的简图？问题3练习: 画出函数y=1+sinx，x?[0, 2?]的简图.o1-12y=sinx，x?[0, 2?]练习: 画出函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的简图.
我们这节课都研究了些什么？你有什么收获？课堂小结 (1) 利用三角函数线画正、余弦函数的图象；
（2）通过正弦曲线平移得到余弦函数图象；
（3）“五点法”作出正弦、余弦函数的简图；
（4）数形结合思想和化归思想的应用。课堂小结：五点作图法作正弦、余弦函数的图象.生活中的数学------切甘蔗正、余弦函数图象的应用十分广泛：光学物理建筑设计机械制造服装设计
……课件12张PPT。第1章 三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质 正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x?R) y=cosx (x?R) 定义域值 域周期性x?Ry?[ - 1, 1 ]T = 2? 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R)是奇函数cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R)是偶函数定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性 y=sinx (x?R)增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1 … 0 … … ? …-1 0 1 0 -1减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1[ +2k?, +2k?],k?Z[ +2k?, +2k?],k?Z 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性 y=cosx (x?R) -? … … 0 … … ?-1 0 1 0 -1 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1) sin( ) – sin( )(2) cos( ) - cos( ) 解：?又 y=sinx 在 上是增函数解：?又 y=cosx 在 上是减函数cos( )=cos =cos cos( )=cos =cos 从而 cos( ) - cos( ) <0 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解： y=2sin(-x )= -2sinx (2) y=3sin(2x- ) 单调增区间为所以：解：单调减区间为 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 (3) y = | sin(x+ )|解：令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：小 结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性 单调性（单调区间）奇函数偶函数[ +2k?, +2k?],k?Z单调递增[ +2k?, +2k?],k?Z单调递减函数求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinxy=sinx (x?R) 图象关于原点对称课件12张PPT。第1章 三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质α在第一象限时：
正弦线: sinα=MP>0
余弦线: cosα=0M>0
正切线：tanα=AT>0
α在第二象限时：
正弦线: sinα=M’P’>0 余弦线: cosα=0M’<0 正切线：tanα=AT’ <0
三角函数线：正切函数的作图作法如下：
作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。
找横坐标（把x轴上 到 这一段分成8等份）
把单位圆右半圆中作出正切线。
找交叉点。
连线。正切函数的图象全体实数R 正切函数是周期函数，T=正切函数在开区间
内都是增函数。（1）定义域：（2）值域：（3）周期性：（5）单调性:正切函数的性质（4）奇偶性: 正切函数是奇函数，正切曲线关于原点0对称例 题 讲 解例1 求函数 的定义域。解：令
那么函数 的定义域是：
所以由 可得：
所以函数 的定义域是：例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：与与例3 求下列函数的单调区间：这个题目应该注意什么例4 求下列函数的周期：由上面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗（1）正切函数的图象
（2）正切函数的性质：
定义域：
值域：
周期性：
奇偶性：
单调性：全体实数R正切函数是周期函数，
最小正周期T=奇函数，正切函数在开区间
内都是增函数。小结课件22张PPT。第1章 三角函数1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象 实例一、课前检测1、 函数 y=3sin（2x－ ）的振幅为________,
周期为________,
频率为________,
相位为________,
初相为___________32、如何由函数y=sinx的图象变换得到下列函数的图像（1） y=sinx y=sin（x＋ ）向左平移 个单位y=sinx y=sin（x－ ）向右平移 个单位（3） y=sinx y=sin2x y=sinx y=sin0.5x （2）y=sinx y=2sinxy=sinx y=0.5sinx演示相位变换函数 y=sinx振幅变换周期变换8二、小组合作函数 y=3sin（2x＋ ）的图象可以由y=sinx的图象经过哪些变换得到？【例如】 如何作函数 y=3sin（2x＋ ）的简图？10（3）连线：（4）根据周期性将作出的简图左右
延伸。三、师生互动先相位
再周期
后振幅先周期
再相位
后振幅其他方法变换方法探究：2??方法一演示返回13（1）向左平移方法一：y=sin(x+ ) 的图象函数 y=sinx142??y=sin2x① 方法二演示返回15（2） 向左平移
方法二：函数 y=sinx162??① y=3sinx②y=3sin2x其余方法演示 ….返回 例.函数
它的图象由y=sinx的图象经过怎样的变化得到?典例分析四、总结提升y=sinx的图象经过振幅、周期、相位变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象19方法一：一般规律20方法二:一般规律1、将函数 y=3sinx的图象向右平移 个单位长度，得到函数的解析式为 。 五、当堂检测2、将函数y=2sin（x+ ）的图象上所有点的横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 。 3、将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的３倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到的函数的解析式为 。课件26张PPT。第1章 三角函数例1.画出函数的简图。，列表：描点画图 一般地，函数y＝Asinx，x∈R（其中A>0且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有的纵坐标：伸长（当A>1时）或缩短（当0
0且ω ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω >1时）或伸长（当0<ω <1）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到。例3 画出函数的简图（3）思考：O方法2：y=sinx纵向伸长3倍y=3sinxy=3sin2x方法1：y=sinx纵向伸长3倍y=3sinx练习：画出函数的简图并写出单调减区间 2.已知函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0, x?R) 在一个周期内的图象如图所示求函数解析式.课件20张PPT。第1章 三角函数1.3.4 三角函数的应用引入: 三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决问题中有着广泛的应用.本节课我们来研究三角函数的应用问题.例1.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线
近似满足函数（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.解：（1）观察图象可知，
这段时间的最大温差是20oC。（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周期的图象，所以因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故所求函数解析式为小结： 一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.也可以利用函数的零值点来求．·O·· 例1:如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3㎝,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对于平衡位置的位移x(㎝)和时间t(s)之间的函数关系.（２）求物体在t=5s时的位置.分析:
以运动时间为横坐标，运动位移为纵坐标，
在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以
考虑用函数来刻画位移与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出
所求函数的模型为是：·解（１）设x和t之间的函数关系为： 例2: 如图，某大风车的半径为2m,每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m,风车圆周上一点A从最低点O按逆时针方向开始运动，运动t(s)后与地面的距离为h(m).求距离h(m)与运动时间t(s)的关系式.
解:建立直角坐标
系如图所示A······由题意知:所求函数的模型为则A=2,B=2.5,T=12,∴ω=π/6∵t=0时 h=0.5 ∴当t=0时,sin(ωt+φ)=-1所以Φ=-π/2因此所求函数的关系式为
h=2sin[(π/6)x-π/2] 例3:海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值
（精确到0.001）.解:（1）以时间为横坐标，
水深为纵坐标，
在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数
来刻画水深与时间之间的对应关系.
从数据和图象可以得出：A=2.5,h=5,T=12, φ =0;由 ，得所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似
描述为：由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5（米），
所以当y≥5.5时就可以进港.令
化简得由计算器计算可得因为 ，所以有函数周期性易得解得因此，货船可以在凌晨
零时30分左右进港，早晨
5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？（3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。 实际问题 数学模型实际问题 的解抽象概括数学模型 的解还原说明推理
演算三角应用题的解题策略：