第二十四章
圆(13)
课题：24．4圆锥的侧面积和全面积
学习目标：
通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积
学习过程：课前准备
一、如图，我们把
叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如上图中
是母线
，而
就是圆锥的高。
那么圆锥的母线有
条。
二、探索圆锥的侧面积公式
圆锥的侧面展开图是______形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长R，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式
可知S＝·2πr·R＝πRr．
因此圆锥的侧面积为S侧＝_________.
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=________.
三、例题讲解
例1、一个圆锥形零件的母线长为5，底面的半径为3，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
例2、蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱
( http: / / www.21cnjy.com )组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为16π平方米,高为5米,外围高2米的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡
四、练习
1.一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为
.
2.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是
．
3.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，求扇形的圆心角是多少度？
五、小结：圆锥的侧面展开图的形状，圆锥的侧面积以及圆锥的全面积公式，并用公式进行有关的计算．
六、课后检测
1．已知圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是 .
2、某盏路灯照射的空间可以看成如图3所示的圆锥，它的高AO=8米，
底面半径0B=6米，则圆锥的侧面积是________________平方米（结果保留；
3、已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60cm ，则这个圆锥的底面半径是
4、一个扇形的圆心角是120°，以这个扇形作为一个圆锥的侧面，已知这个圆锥的底面半径为6cm，则这个扇形的半径为
。
5、母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．
6、已知圆锥的侧面积为10cm ，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为
。
7.已知圆锥的母线长力30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为
．
8.
如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的全面积为（ ）
A、100π
B、200π
C、300π
D、400π
9、己知O为圆锥的顶点，M
为圆锥底面
( http: / / www.21cnjy.com )上一点，点P在
OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（
）
10．如图,扇形纸片的半径为15cm,圆
( http: / / www.21cnjy.com )心角为120°,用它做成一个圆锥模型的侧面.求这个圆锥的高和侧面积(不计接缝处的损耗,结果保留根号).
11、如图，圆锥的底面半径为10，母线长为3
( http: / / www.21cnjy.com )0，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一周再回到点B
，问它爬行的最短路线是多少？
12、如图，一个圆锥的高为，侧面展形图是一个圆心角为60°的扇形，求圆锥的表面积。
C
B
A
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1第二十四章
圆
（9）
课题：24.2
三角形的内切圆和外接圆
学习目标：1、掌握内切圆和外接圆、外心和内心的知识；
2、会画三角形的内切圆和外接圆；解决三角形的内切圆、外接圆半径的问题。
学习过程：
一、自学检测：预习P99
－100页,完成下列问题:
1、
的圆叫做三角形的内切圆；
内切圆的圆心是
，叫做三角形的
。
2、
，这个圆叫做三角形的外接圆；
外接圆的圆心是
，叫做三角形的
。
3、尺规作图：
（1）作出三角形的内切圆
（2）作出三角形的外接圆
4、填写下列表格
关系
定义
圆心
实质
半径
图示
外接圆
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内切圆
二、经典题型分析
例：如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，
求∠BOC的度数。
变式1：如果在△ABC中，∠BAC=50°，点O是内心，
求∠BOC的度数。
变式2：如果在△ABC中，∠BAC=
ɑ，点O是内心，
求∠BOC的度数。
三、堂上练习：
1、⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=3，BC=4，则⊙O的半径为
。
2、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径
,
内切圆半径
。
3、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比
。
4、△ABC的内切圆⊙O半径为R，△ABC的周长为L，求△ABC的面积。
四、课后作业
1、如图，△ABC中，AB=AC，△ABC的内切圆⊙O与边BC、AC、AB分别切于
点D、E、F，求证：BF=CE。
2、如图，已知△ABC的面积是16，周长是24，请作出内切圆⊙O并求出该圆的半径。
3、△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.
求AF，BD，CE的长。第24章
圆（6）
课题：24.2.2直线和圆的位置关系
研学目标:
1、理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系；
2、能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系。
研学重、难点：直线和圆的三种位置关系及d、r之间的数量关系。
学习过程
一、自学指导（阅读课本P95--P96）
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为了OP=d,则当d>r时，点P在_____
___；
当d=r时，点P在____
__
_;当d____.
2、阅读P95页的思考并回答：早上太阳升起过程中，太阳与地平线会有几种位置关系？
3、阅读P96页的内容后，完成下面的填空：
（1）利用下图观察，在同一平面内作一条直线和一个圆，则直线与圆最多有______个交点；最少有
________个交点
图1
图2
图3
（2）利用上图，过点O分别向直线作垂线，垂足记为P，记OP=d，⊙O的半径记为r，
图1中直线和圆有______个交点，此时d_____r
(填“>,<,=”)；
图2中直线和圆有______
个交点，此时d_____r；
图3中直线和圆有______个交点，此时d______r。
（3）如右图，直线与圆有______个公共点，这时我们说这条直
线与圆_______
，这条直线叫做圆的_______，此时d_____r。
（4）如右图，直线和圆有______个公共点，这时我们说
这条直线与圆____
__，这条直线叫做圆的_____
__，
这个点叫做
，此时d_____r。
（5）、
如右图，直线和圆有______个公共点，这时我们说
这条直线与圆_____
_，此时d_____r。
二、自学演练
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d
：
（1）
若d=4.5cm
,则直线与圆
,
直线与圆有__
__个公共点；
（2）
若d=6.5cm
,则直线与圆______,
直线与圆有__
__个公共点；
（3）
若d=
8
cm
,则直线与圆______,
直线与圆有___
_个公共点。
2、已知⊙O的半径为5cm,
圆心O与直线AB的距离为d,
根据条件填写d的范围:
（1）
若AB和⊙O相离,
则
；
（2）
若AB和⊙O相切,
则
；
（3）
若AB和⊙O相交,则
。
3、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则
d（
）
A、d≤4
B、d＜4
C、d≥4
D、d＝4
4、在Rt△ABC中∠C
( http: / / www.21cnjy.com )=
90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的关系？为什么？
(1)
r=2cm
(2)
r=2.4cm
(3)
r=3cm
如图,已知∠AOB=
30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M为圆心,r为半径作圆,那么:
（1）当直线OA与⊙M相离时,
r的取值范围是_________；
（2）当直线OA与⊙M相切时,
r的取值范围是_________；
（3）当直线OA与⊙M有公共点时,
r的取值范围是__
___。
三、归纳小结：直线和圆的位置关系：
相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；
相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；
相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；
四、当堂检测
1、已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直
线和这个圆的位置关系为（
）
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
相交或相离
2、下列直线中一定是圆的切线的是（
）
A.
与圆有公共点的直线
B.
到圆心的距离等于半径的直线
C.
垂直于圆的半径的直线
D.
过圆的直径端点的直线
3、Rt⊿ABC中，AC=3，BC=4，以点C为圆心，以2.2为半径作⊙O，它与直线AB的位置关系是（
）
A.
相离
B.
相切
C.
相交
D.
不确定
4、（2008江西）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（
）
A．与轴相离、与轴相切
B．与轴、轴都相离
C．与轴相切、与轴相离
D．与轴、轴都相切
5、已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线的距离为4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数有______个
6、在Rt△ABC中，∠C＝900
，AC=3
，AB=5，若以C为圆心、r为半径作圆，那么
（1）当直线AB与⊙C相切时，r
的取值范围是
（2）当直线AB与⊙C相离时，r
的取值范围是
（3）当直线AB与⊙C相交时，r
的取值范围是
7、已知圆的直径为13cm，若直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆的有
个公共点。
8、如图，点A是一个半径为3km的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为7km的笔直公路将两村连通,
现测得
∠ABC=90°,
∠ACB=
30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．
o
o
o
相交
d＜r
相切
d=r
相离
d＞r
3
4
1
2圆
（3）
课题：24.1.3
弧、弦、圆心角
研学目标：掌握圆心角的概念，掌握在同圆或
( http: / / www.21cnjy.com )等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用
研学过程
一、自学探究
自学课本P83---P85
并思考下列问题：
1、圆既是
对称图形，也是
对称图形，
和
分别是它的对称轴和对称中心。
2、下列各角中，是圆心角的是（
）
3、如图，扇形AOB旋转到扇形A′OB′的位置，我们可以发现，在旋转过程中，
∠AOB＝
，＝
，AB＝
.
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
，所对的弦
。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的
相等，所对的
也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的
相等，所对的
也相等．
4、如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
5、如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，∠2的度数.
二、堂上练习
1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么____________，_______________。
（2）如果
=
，那么__________，_____________。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么____________，___________。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等的大小关系是
。
2、如果两个圆心角相等，那么（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
3、如图，AB是⊙O
的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，求∠AOE
的度数．
4、.已知：如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC
。求证AB＝CD.
三、堂上检测
1、如图1，⊙O中，如果=2，那么（
）
A．AB=2AC
B．AB=AC
C．AB<2AC
D．AB>2AC
2、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D是上的三等分点，∠AOE=600，则∠BOC=（
）
A
40O
B
65O
C
80O
D
120O
3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
4、如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
5、如图，AD=BC，那么比较AB与CD的大小？
四、课后拓展：
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
点A、B。
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：
O
C
D
F
A
B
E
E
D
C
B
O
A
第4题
第2题
第1题
O
D
C
A
B
E
F
O
A
B
C
D圆
（11）
课题：24.4.1弧长
研学目标：掌握弧长计算公式，并灵活运用弧长公式解决实际问题．
研学过程
一、自学探究
探究1：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°,你能求
出这段铁轨的长度吗 （结果用表示）
归纳：（1）圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
（2）圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
（3）圆心角是45°，占整个周角的_________，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
（4）圆心角是1°，占整个周角的__________，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
（5）圆心角是n°，占整个周角的__________，因此它所对的弧长是圆周长的_______．
如果弧长为，圆心角度数为n0，圆的半径为R，那么弧长的计算公式为
练习：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1
mm)．
二、堂上练习
1、在半径为9cm的圆中，600的圆心角所对的弧长为_____
cm
2、已知扇形的弧长是2cm，半径为12cm，则这个扇形的圆心角是
3、300的圆心角所对的弧长是π，则半径为_________
4、圆心角为2700的扇形弧长等于半径是6cm的圆的周长，求扇形的半径.
5、已知弧长L=6πcm，它所对的圆心角为1200，求它所对的弦长.
三、堂上检测
1、弧长为的圆心角是________.
2、在半径为9cm的圆中，600的圆心角所对的弧长为_____
cm
3、已知扇形的弧长是2cm，半径为12cm，则这个扇形的圆心角是
4、在半径为R的圆O中，弦AB=R，则弧AB的长为（
）
A.
R
B.
R
C.
R
D.
R
5、在图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点．
甲虫沿弧ADA1、A1EA2
、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是(
)
A．甲先到B点
B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B点
D．无法确定第二十四章
圆
（2）
课题：24.1.2垂直于弦的直径
研学目标
1．理解圆的轴对称性；
２.了解拱高、弦心距等概念；
３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。；
研学过程：
一.自学P81-83页后完成下列填空：
1、圆是一个
对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
也是
对称图形，对称中心即为
，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。
2、如图，线段
AB是⊙O中任意一条弦，过点O作线段
AB的垂线段OC，则OC叫做弦心距（即圆心到弦的距离），
并且弦心距OC平分弦AB，即AC=BC=。
3、试一试
如图，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD
的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，
根据圆的轴对称性：可得AP＝____
＝
=_____。
即：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
我们还可得到：推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
如图，在⊙O中，MN为⊙O的直径，非直径的弦AB与MN相交于点C,
(1)若MN⊥AB，则
，
，
(2)若AC＝BC，则
，
，
二、自学演练:
1、如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（
）．
A．CE=DE
B．
=
C．∠BAC=∠BAD
D．AC>AD
2、如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM长为3，则弦AB的长是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
3、如图3，已知⊙O的半径为5
cm，弦AB=8
cm，则圆心O到AB的距离是（
）
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
4、如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
5、如图在⊙O中，弦AB的长为8
cm,圆心O到AB的距离为3
cm,求⊙O的半径。
6.你知道赵州桥吗？它是1300多
( http: / / www.21cnjy.com )年前我国的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形（如图），它的跨度（弧所对的弦的长）为24米,拱高(弧的中点到弦的距离)为8米,你能求出赵州桥拱的半径吗
三、小结:
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
四、当堂检测:：
1、如图（1），的直径垂直弦于，且是半径的中点，，
则直径的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、如图（2），⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3、如图（2），⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4、如图（3），弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，则AB的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5、⊙O中半径为13
cm，弦AB∥CD,AB=24
cm，CD=10
cm，则AB和CD的距离是________。
6、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P
点的最短弦长为________；
最长弦长为______
如图（1）
如图（2）
如图（3）
7、下列说法正确的是(
)
A、平分弦的直径垂直于弦
B、平分弦的直径平分弦所对的两条弦
C、弦的垂直平分必经过圆心
8、如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB，求证：AC=BD
9、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
_
B
_
A
_
C
_
E
_
D
_
O
_
F
图4
图3
图2
图1
O
D
A
C
B
D
O
A
B
C
E第二十四章
圆
（1）
课题：24.1圆的有关性质
学习目标：明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。
学习过程：
一、自学检测：预习P79
－80页,完成下列问题:
1、确定一个圆的两个条件是
和
；
决定圆的位置，
决定圆的大小。
2、(
1
)圆上各点到定点（圆心）的距离都_____定长（半径r）
（2）到定点的距离_______定长的点都在________。
（3）
叫做弦，
叫做直径,
叫做弧;
叫做劣弧。
叫做优弧,能够重合（或半径相等）的两个圆是等圆。
在同圆或等圆中，能够互相_________的弧叫做等弧。
3、如图：线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”.
如图，弦是：
劣弧是：
优弧是：
二、例题分析
例1△ABC,中∠C=90,求证：A，B,C三点在同一个圆上。
例2：
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。
三、堂上练习：
1、以定点O为圆心，能作________个圆；以定长R半径作圆，能作______个圆；以定点O为圆心，定长R为半径作圆，能且只能作____个圆。
2、如图中有____条直径，有_
( http: / / www.21cnjy.com )____条非直径的弦，以点A为一个端点的优弧有_
___，劣弧有_
_____。
3、如图，∠AOB＝60°，那么△AOB是_______三角形。
4、在半径为R的圆中，弦长为d,则d
的取值范围是
。
5、下列语句中正确的有（
）
①直径是弦
②弦是直径
③半圆是弧，但弧不一定是半圆
④长度相等的两条弧是等弧
A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
6、如图：OA、OB是圆上的两条半径，∠OAB=45°,OA=5,求AB的长度。
四、课后作业
1、判断题
（1）能够重合的两个圆是等圆。
（
）
（2）直径相等的两个圆是等圆。
（
）
（3）半圆周是弧，弧不一定是半圆周。
（
）
（4）长度相等的两条弧叫做等弧。
（
）
（5）连接圆心和圆上任意一点的线段是弦。
（
）
（6）直径是圆中最长的弦，圆中最长的弦是直径。（
）
（7）在同圆中，优弧一定比劣弧长。
（
）
（8）面积相等的圆是等圆。
（
）
（9）经过圆内一点，可以做无数条直径。
（
）
2、如图，点A,O,D以及B,O,C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
3、已知⊙O的半径为5
cm,P为⊙O内一点，OP=3cm,则过点P的最长的弦长为（
）
A
4cm
B
5cm
C
8cm
D
10cm
4、下列结论，不正确的是（
）
A
直径是弦
B
半圆是弧
C
直径大于弦
D
直径相等的圆是等圆
5、如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，
那么与线段OA相等的线段有_
___________
____。
6、如图，在以为直径的半圆中，是它的中点，若，
则的面积是（ ）
A．1.5 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
7、如图，弧AD是以等边三角形AB
( http: / / www.21cnjy.com )C一边AB为半径的四分之一圆周，
P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（
）
A．
15
B．
20
C．15+
D．15+
8、如图：CD是⊙O的直径，∠EOD=72°,AE交⊙O于B，
且AB＝OC，则∠A=
_
B
_
A
_
C
_
O
C
D
O
B
A
第2题
第3题
第2题
C
PAGE
1第24章
圆
(5)
课题：24.1.4圆周角
学习目标：
1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理．
2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算．
学习过程：
一.
圆周角的定义;
1、
叫做圆周角．
2、判别图中各圆形中的角是不是圆周角．
（二）、新课讲解:圆周角定理：
已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠BAC=∠BOC
（分三种情况）
还要考虑另外两种情况：
圆周角定理：
一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的___________
同弧或等弧所对的圆周角__________
半圆（或直径）所对的圆周角是__________，900的圆周角所对的弦是_______
2、如图10：∠A是⊙O的圆周角，∠A
=
40°，求∠OBC的度数.
3、已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，求证：∠A+∠C=1800
结论：圆内接四边形的_______互补
4、如图,在⊙O中,弦AB与DC相交于点E,AB=CD.求证:
△AEC≌△DEB.
5、如图,
⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6
cm,
∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD,BD的长。
（三）、课堂练习：
1、在圆中一条弧所对的圆心角和圆周角分
( http: / / www.21cnjy.com )别为(2x
+
100)0和(5x
–
30)0则这条弧所对的圆心角的度数为
、圆周角的度数为
。
2、如图5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=
.
3.（2009年天津市）如图，内接于，若，则的大小为（
）
A．
B．
C． D．
4.
（2009南宁）如图，的直径，弦，则弦的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（四）、课后练习：
A组:
1、若一条弧的圆心角是70°，它所对的圆周角是 度
2、在一个圆中，若一个圆周角等于80°，这条弧所对的圆心角等于 度
3、如图7所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=100o，则∠BAC=
度，∠BDC=
度.
4、如图8，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠C=25，则∠AOD=
5、如图9，已知AB=AC=2cm,
∠BDC=60，则△ABC的周长是
。
6、如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
B组:
1.
(2012
湖南省湘潭市)
如图，在⊙O中，弦，若，则（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
(2012
辽宁省大连市)
如图，是的内接三角形，
若，则＝______.
3．如图，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD
于点E、F，求证：AE=BF=CD．
C
A
B
O圆
（12）
课题：24.4.1扇形面积
研学目标：扇形面积计算公式，并灵活运用公式解决实际问题．
研学过程
一、自学探究
扇形的面积公式．
如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为____，
n0的圆心角对应的扇形面积为_______，因此扇形面积的计算公式为S扇形＝_________，
弧长和扇形面积S之间的关系是：S=_________
练习：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.8米，其中水面高0.4米，
求截面上有水的面积(结果精确到0.01)
二、堂上练习
1、扇形的圆心角是120°，半径为2的面积是_______________
2、扇形的面积为，半径为2,则它的圆心角为__________
3、
弧长为，半径为2的扇形的面积是______________
4、扇形的圆心角为300，它的面积为3cm2，则此扇形的半径为_______.
5、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到
四边形ABCD，则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是
(
)
(A)2π
(B)π
(C)π
(D)
三、堂上检测
1、如图，同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=1200，则阴影部分的面积为（
）
A．π
B．π
C．2π
D．4π
2、如图，已知正三角形ABC的边长为1，分别以A、B、C为圆心的三个等
圆相切于点O1、O2、O3．求弧O1O2，弧O2O3，弧O3O1,围成的图形的周长与面积
(图中阴影部分)．
3、如图，OA⊥OB，AC//OB，OA=2，弧AB是以O为圆心，OA为半径的弧，BC是以A为圆心，
AB为半径的弧，求阴影部分的周长与面积。第二十四章
圆(8)
课题：24.2.2
切线长定理（2）
研学目标：
1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及并能运用切线长定理解决相关问题。
一﹑自学指导（带着以下问题自学课本P99—100）
如图，已知⊙O和圆外一点P，请过点P作⊙O的切线
最多能作_____条切线
切点与点P的连线的长度有什么关系？直线PO与过点P的两条切线所组成的角有什么关系？并且进行证明。
小结：
“从圆外一点可以引___条切线，它们的切线长_____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角”，这个定理称为切线长定理.
二、例题讲解：
如图，在△ABC内有一圆⊙
( http: / / www.21cnjy.com )O，并且与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14
cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长。
三、堂上练习：
1、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，
交AP于C。
（1）若已知⊙O的半径为3厘米，PO＝
( http: / / www.21cnjy.com )6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=
，PB=
，∠APB=_________°
（2）∠OBA=30°，则∠APB=______°.
3.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm，求BC的长。
四、课后作业
1.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在上，
（1）若PA长为2，则△PEF的周长是_
_．
（2）若PA长为a，
则△PEF的周长是_
_．
2、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求
∠P的度数。
3.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25cm。
如果UV=28cm，VT是多少？
如果∠UVW=60°，VT是多少？第二十四章
圆(5)
课题：点和圆的位置关系
学习目标：
1.
掌握点和圆，并会用之解决有关问题
2.
知道反正法的基本思路。
学习过程：
一、思考：平面内点与圆的位置关系有哪些关系？如何断定
可知平面内点与圆的位置关系有
种情况，分别是
、
、
设⊙O的半径为r，若点A、B、C到圆心的距离=d,
则有
（1）
A点在圆内<＝>
d
r
;
（2）
B点在圆上<＝>
d
r；
（3）
C点在圆外<＝>
d
r.
自学指导二：阅读课本P92
思考：多少个点可以确定一个圆？
1、画过一个点的圆。
小结：经过一定点的圆可以画
个。
2、画过两个点的圆。
小结：经过两定点的圆可以画
个，这些圆的圆心在线段AB的
上
3、画过三个点（不在同一直线）的圆。
小结：不在同一条直线上的三个点确定
个圆．
（推论：经过三角形的三个顶点可以作_
( http: / / www.21cnjy.com )__个圆，这个圆叫做三角形的________,外接圆的圆心是三角形的三条边_________的交点，叫做这个三角形的______。）
二.
自学演练
1、已知⊙O的半径为5cm，根据下列点P到圆心的距离，判断点P与圆的位置关系，并说明理由.
⑴5cm
⑵6cm
⑶
cm
⑷
0
cm
2、已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（
）
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．不确定
3、两个圆的圆心都是O,半径分别是r和R,点A满足r)
A.小圆内
B.大圆内
C.小圆外大圆内
D.大圆外
4、在下列三个圆中，分别画出内接三角形（锐角，直角，钝角三种三角形）
5、三角形的外心在这个三角形的（
）
A．内部
B．外部
C．在其中一边上
D．以上三种都可能
6．△ABC中，O是它的外心，BC=24cm,O到BC的距离是5cm,
则△ABC外接圆的半径等于
.
7、如图⊙O的直径AB=AC=4，D是BC的中点。
（1）点D与⊙O的位置关系，并加以证明
（2）若∠A=120°求BC的长度
三、思考：什么叫反证法，反正法的步骤
“反证法”的步骤为：
先假设结论的
( http: / / www.21cnjy.com )____正确，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相_____，说明假设不成立，从而得到原结论正确
例题：已知:
在△ABC中,AB≠AC
求证:∠B≠∠C
证明:假设________
得_________
与已知条件AB≠AC相矛盾.
∴∠B≠∠C
即在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．
四.
自学演练
1、用反证法证明“a>b”时应假设（
）
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a≤b
2、用反证法证明命题“三角形必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（
）
A）有一个内角小于60°
B）每一个内角小于60°
C）有一个内角大于60°
D）每一个内角大于60
3、用反证法证明“已知：在△ABC中，AB=AC求证：∠B一定是锐角”
首先应假设
五．小结
常用的互为否定的表达方式：
是——不是；存在——不存在；平行——不平行；垂直——不垂直；等于——不等于；
大于——小于或等于；小于——大于或等于；
至少有一个——一个也没有；
至少有三个——至多有两个；
至少有n个——至多有(n－1)个；街
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六．当堂检测
1.三角形的外心是(
)
A.三角形三条中线的交点；B.三角形三边垂直平分线的交点
C.三角形三个内角平分线的交点；D.三角形三条高的交点
2.判断题:
经过三点可以画圆(
)
任意一个三角形一定有一个外接圆,而且有只有一个外接圆(
)
任意一个圆一定有一个内接三角形,而且有只有一个内接三角形(
)
3、若点O是△ABC的外心，∠A=70°，则∠BOC=
4.已知⊙O的面积是25π，⊙O所在的平面内有一点P，若OP=6.5,则点P在
5．作图：已知△ABC中，∠C=9
( http: / / www.21cnjy.com )0 ，AC=2，BC=3.以点C为圆心，2为半径画圆，三角形的各顶点与该圆的位置关系是：点A在⊙C ；点B在⊙C ；
点C在⊙C ；
6．直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,其外接圆的半径是 。
7、作出下列三角形的外接圆，并写出圆心在三角形的位置
锐角三角形的圆心在三角形 部
直角三角形的圆心在三角形
钝角三角形的圆心在三角形 部
A
B
C
PAGE
1第二十四章
圆(7)
课题：24.2.3
切线的判定定理与性质定理
学习目标：
1.
理解切线的判定定理和性质定理；
2.
运用切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目。
学习过程
自学指导（带着以下问题自学课本P97~P98）
1、如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线⊥OA.
则：
(1)
圆心O到直线的距离是多少？
(2)
直线和⊙O有什么位置关系？
2.反过来，如图，如果直线是⊙O的切线，切点为点A，那么半径OA与直线是不是一定垂直呢？
假设半径OA与
l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据
垂线段最短的性质有________＜______，
∴直线l与⊙O______。这就与已知直线是⊙O的相切矛盾。
∴假设不正确。因此半径OA与直线l垂直
自学演练
1.经过半径的_____并且 ______于这条半径的直线是圆的________。
2.圆的切线_____过_____的半径。
3、如图：△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线
3.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证直线AB是⊙O的切线.
三、当堂训练
1．下列说法正确的是（
）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2.
如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°，AT=AB,求证AT是⊙O的切线.
3.
已知：如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，过点作于点．求证：是⊙O的切线．
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。求证：DE是⊙O的切线。
四、课外作业：
A组
1.“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（
）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.
如图,若⊙的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,
且⊙O的半径为2,则CD的长为
(
)
A．
B．
C．2
D．
4
3.
如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于(
)
A．
B．
C．2
D．2
4.
如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若PA=8,OP=10,则线段PB的长为_______
5.
如图，以O为圆心的两个同心圆中，
( http: / / www.21cnjy.com )大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为
_______cm．
B组
已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.
（1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.
D
E
C
A
O
B
第5
第4
第3
第2
A
B
C
O
P
图①
A
B
C
O
P
D
图②
3
4
1
2第24章 圆（
10
）
内容：24.3正多边形和圆
研学目的:
了解正多边形和圆的有关概念；通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力
教学过程
一、探索新知：阅读课文P105、P106
1、正多边形和圆的有关概念
正多边形的中心：
正多边形的半径：
正多边形的中心角：
正多边形的边心距：
2、例题讲解：
有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
3、完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角（度）
中心角（度）
半径
边长
边心距
周长
面积
3
600
4
1
6
要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要多少？
三、归纳小结：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
四、课后巩固：
一、选择题
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（
）．
A．60°
B．45°
C．30°
D．22．5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，
则∠APB的度数是（
）．
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
3、如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为
10，则正八边形ABCDEFGH的面积为（
）
(A)
40
(B)
50
(C)
60
(D)
80
。
4、已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）
A．6
B．12
C．
D．
二、填空题：
1．已知正六边形边长为4，则它的内切圆面积为_______．
2．四边形ABCD为⊙O的
( http: / / www.21cnjy.com )内接梯形，如图所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
3、若一个正多边形的一个外角为40 ，则这个正多边形是_
边形．
4 、完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数
内角（度）
中心角（度）
半径
边长
边心距
周长
面积
3
5
4
4
6
二、练习：
1、要用圆形铁片截出边长为5的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是
2、各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？答：_____
各角相等的圆内接多边形呢？答：_______
3、正多边形都是轴对称图形吗？答：_______
正多边形都是中心对称图形吗？答：_______
用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化
( http: / / www.21cnjy.com )场地，现有四种设计方案，正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？答场地面积最大的是
B
A
C
D
E
F
G
H
O
H
B
A
