课件32张PPT。2.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念 第二章 平面向量明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.明目标、知重点填要点·记疑点1.向量的概念
(1)向量：具有大小和 的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做 .
(2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量 .相等方向自由向量(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做 线段.点A叫做有向线段的 ，点B叫做有向线段的 .有向线段的方向表示向量的 ，线段的长度表示位移的 ，位移的距离叫做向量的 .长度有向始点终点方向距离(2)同向且等长的有向线段表示 向量，或 向量.相等同一(2)长度等于零的向量，叫做 ，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 .3.向量的平行平行平行基线共线零向量4.位置向量位置向量探要点·究所然探究点一 向量的概念和几何表示
问题 我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种具有大小和方向的量称为向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.
例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度.
其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.
思考3 向量与有向线段有什么区别？
答 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二 几个向量概念的理解
思考1 长度为零的向量叫什么向量？
答 长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
思考2 满足什么条件的两个向量是相等向量？
答 长度相等方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.
小结 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？
答案 单位圆.探究点三 平行向量与共线向量
思考1 如果两个非零向量所在的基线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
答 方向相同或相反平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.答 点A、B、C、D不一定共线.思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？
答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.
小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若a≠b，则a一定不与b共线；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.反思与感悟 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解 ①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.
②不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.
③正确.∵|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.
④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.解 因为E、F分别是AC、AB的中点，反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.1.下列说法中错误的是( )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断A、B、D选项内容都是正确的.当堂测·查疑缺 1234C1234D3.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有
___________________________.1234解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.1234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.梯形呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.课件35张PPT。2.1 向量的线性运算
2.1.2 向量的加法 第二章 平面向量明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点填要点·记疑点1.向量的加法法则
(1)三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝ ＋ ＝ .a＋ba0a(2)平行四边形法则平行四边形2.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝ .
(2)结合律：(a＋b)＋c＝ .a＋(b＋c)OAOBb＋a探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
问题 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.思考1 使用向量加法的三角形、平行四边形法则具体做法是什么？二者有何区别与联系？
答 三角形法则：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.
平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.思考2 当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
答 (1)当a与b同向时：(2)当a与b反向时：当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.思考3 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？∴a＋b＝b＋a.
向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).例1 如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.反思与感悟 已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图.跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.
解 在平面内任取一点O，探究点二 向量加法的多边形法则
问题 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.――→――→这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).0例2 化简：反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.探究点三 向量加法的实际应用
例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).答 船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角约为68°.反思与感悟 速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决.跟踪训练3 若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是__________.东北方向1.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )当堂测·查疑缺 1234故选D.
答案 D123412342. 在平面内，设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：01234D12344.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.呈重点、现规律1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.课件30张PPT。2.1 向量的线性运算
2.1.3 向量的减法 第二章 平面向量明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.明目标、知重点填要点·记疑点1.向量的减法(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.差终点始点减2.相反向量
(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的 向量，记作－a (如图).显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的 向量.相反相反探要点·究所然情境导学上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题.探究点一 向量的减法
思考1 a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
答 与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0
－a的相反向量是a即－(－a)＝a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？
答 向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b，c，若a＋c＝b，则c等于什么？
答 a＋c＝b?c＝b－a.探究点二 向量减法的法则
思考1 向量减法的三角形法则是什么？
答 当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：
①连接两个向量(a与b)的终点；
②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.思考2 请你利用向量减法的三角形法则作出非共线向量a与b的差向量a－b?
答 利用三角形法则.思考3 若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？
答 成立.移项法则对向量等式适用.例1 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.解 延长AC到Q.使CQ＝AC，
则m－p＋n－q－r
＝(m＋n)－(p＋q＋r)如图所示.例2 化简下列式子：反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.当堂测·查疑缺 1234A12342.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )1234答案 C12340131234呈重点、现规律2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.课件25张PPT。2.1 向量的线性运算
2.1.4 数乘向量 第二章 平面向量明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.明目标、知重点填要点·记疑点1.数乘向量
(1)定义：实数λ与向量a的乘积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 .
(2)规定：|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ .
(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到.0向量相同相反λa2.数乘向量的运算律
数乘向量运算满足下列运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝ ；(2)λ(μa)＝ ；
(3)λ(a＋b)＝ (分配律).
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝
.λa－λbλa＋μa(λμ)aλa＋λb3.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.探要点·究所然情境导学位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.探究点一 数乘向量的物理背景及几何意义
思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？
答 ∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？
答 ＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的模及方向与向量a有什么关系？如何理解数乘向量的几何意义？
答 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa＝0.
向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.当λ>0时，沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)为λ倍；当λ<0时，沿着a的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)为|λ|倍.探究点二 数乘向量的运算律
思考1 根据实数与向量积的定义，数乘向量有哪些运算律？
答 设λ，μ∈R，则有
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？
答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).
如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；
如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.例1 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
解 正确.∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.解 正确.∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.
∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.(3)－2a与2a是一对相反向量；
解 正确.
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
解 错误.－(b－a)＝－b＋a＝a－b.
(5)若a，b不共线，则λa与b不共线.
解 错误.若λ＝0，则0a＝0，0与任意向量共线.
反思与感悟 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；λ＝0时，λa＝0.跟踪训练1 下面给出四个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b；
④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4C例2 计算：
(1)(－3)×4a；
解 原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
解 原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
解 原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.跟踪训练2 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
解 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.当堂测·查疑缺 1234B1.若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )1234B12341234呈重点、现规律1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.课件29张PPT。2.1 向量的线性运算
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 第二章 平面向量明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解平行向量定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.
2.理解轴上向量坐标的含义及运算.
3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.明目标、知重点填要点·记疑点1.平行向量基本定理
(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则 ；反之，如果a∥b，且 ，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a 且__________的向量，叫做向量a的单位向量.记作a0，由数乘
向量的定义可知a＝ 或a0＝ .a∥bb≠0同方向长度等于1|a|a02.轴上向量的坐标
(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.当在轴上选一定点O作为原点时，轴就成了数轴.
(2)轴上向量的坐标：已知轴l，取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe，单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量).
①给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合__________；{xe|x∈R}②x的绝对值等于 ；当a与e同方向时，x是 ，当a与e反方向时，x是 .
于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量.
3.轴上向量的坐标运算
(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b? .x1＝x2a的长正数负数(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝ .(4)数轴上两点的距离公式：|AB|＝ .|x2－x1|(x1＋x2)ex2－x1探要点·究所然探究点一 平行向量基本定理
思考1 请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？
答 因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.
思考2 若a、b是平行向量，能否得出b＝λa？为什么？
答 可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.小结 (1)由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.例1 已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，反思与感悟 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.跟踪训练1 已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解 因为e1，e2共线，所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，
b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2，综上，a与b共线.探究点二 三点共线的判定∴A、B、D三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.探究点三 数轴上的分点坐标公式答 设P点坐标为x，则
∵AP＝x－x1，PB＝x2－x，∴x－x1＝λ(x2－x)①若P位于线段AB内部，则λ的取值范围是_________，特别地，
若P为线段AB的中点，则λ＝____；
②若P位于线段AB的延长线上，则λ的取值范围是_______；
③若P位于线段AB的反向延长线上，则λ的取值范围是________.λ>0λ<－1－1<λ<0例3 已知A、B、C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标.
(1)AC＝10；
解 ∵AC＝10，∴xC－xA＝10，∴xC＝xA＋10＝8.当AC＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；
当AC＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.跟踪训练3 已知数轴上A、B两点的坐标x1、x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1：
①x2＝3，AB＝5；②x2＝－5，|AB|＝2.
解 ①AB＝x2－x1＝5，∴x1＝x2－5＝－2.
②|AB|＝|x2－x1|＝2，∴x2－x1＝－2或2.
∴x1＝x2－(－2)＝－3或x1＝x2－2＝－7.当堂测·查疑缺 1234B12342.已知M、P、N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为_____.1112343.若非零向量a与b不共线，ka＋b与a＋kb共线，则实数k＝____.
解析 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)，
∴(k－λ)a＋(1－λk)b＝0，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.±112344. 如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明 ∵F、G分别是AB、AC的中点.∴四边形EFGH为平行四边形.呈重点、现规律1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
