课件31张PPT。3.1 和角公式
3.1.1 两角和与差的余弦 第三章 三角恒等变换明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.
3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.明目标、知重点填要点·记疑点两角和与差的余弦公式：
Cα＋β：cos(α＋β)＝ .
Cα－β：cos(α－β)＝ .cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β＋sin αsin β探要点·究所然情境导学探究点一 两角差余弦公式的探索
思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明.
答 不正确.cos(α－β)≠cos α－cos β；cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ＝ ；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ＝ ；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝ ＝ ；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ ＝cos(－60°).
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝ ；
即： .cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β1cos 0°cos 30°0cos(－90°)cos(α－β)探究点二 两角差余弦公式的证明
思考 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，请回答下列问题：1(cos α，sin α)(cos α，sin α)1(cos β，sin β)(cos β，sin β)α－β＝cos αcos β＋sin αsin βcos(α－β)例1 利用和、差角余弦公式求cos 75°、cos 15°的值.
解 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值.
解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题.
(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，探究点三 两角和与差的余弦公式的应用
思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
答 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.
思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
答 cos β＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)·sin α.
思考3 若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于什么？又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.
(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)当堂测·查疑缺 12341.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A12342.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )B1234解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°1234∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β1234呈重点、现规律1.公式Cα－β与Cα＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.
如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α?β).
2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.
3.注意角的拆分技巧的积累，如：课件33张PPT。3.1 和角公式
3.1.2 两角和与差的正弦 第三章 三角恒等变换明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的性质.明目标、知重点填要点·记疑点1.两角和与差的余弦公式
Cα－β：cos(α－β)＝ .
Cα＋β：cos(α＋β)＝ .
2.两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝ .
Sα－β：sin(α－β)＝ .cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin βsin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β3.辅助角公式点(a，b)探要点·究所然情境导学从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β出发，你能推导出两角和与差的正弦公式吗？探究点一 由公式Cα－β推导公式Sα＋β及Sα－β
思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β.探究点二 两角和与差的正弦、余弦公式的应用
例1 化简求值：
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·
sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)反思与感悟 解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.跟踪训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
解 原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).
解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β反思与感悟 此类是给值求角题目，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β
?sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
?sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
?2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α
?tan(α＋β)＝2tan α.
反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.故原式得证.思考2 请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程.
答 asin x＋bcos x例4 化简下列各式：(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间.当堂测·查疑缺 12341.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A1234A解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)1234∴f(x)∈[－2，2].[－2，2]4.试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：
(1)sin α－cos α；12341234解 方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°1234方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°(4)3sin α＋4cos α.1234＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ)).呈重点、现规律1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”.
对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.课件32张PPT。3.1 和角公式
3.1.3 两角和与差的正切 第三章 三角恒等变换明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.明目标、知重点填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式
(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝ .
(2)Tα－β：tan(α－β)＝ .2.两角和与差的正切公式的变形
(1)Tα＋β的变形：
tan α＋tan β＝ .
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ .
tan αtan β＝ .tan(α＋β)tan(α＋β)(1－tan αtan β)(2)Tα－β的变形：
tan α－tan β＝ .
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝ .
tan αtan β＝ .tan(α－β)tan(α－β)(1＋tan αtan β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.探究点一 两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？例1 求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
反思与感悟 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式
思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.1解 方法一 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.
解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan(α＋β)＝－1.反思与感悟 此类是给值求角题目，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会产生增解或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.
反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.当堂测·查疑缺 1234B2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.不确定
解析 (1＋tan A)·(1＋tan B)
＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.1234B12341234∵0
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式Tα±β的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识，就不难想到解题思路.