4.5垂线同步练习
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湘教版七年级下册数学4.5垂线同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
2. 已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A．B．C．D．
3. 如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A．CD＞AD B．AC＜BC C．BC＞BD D．CD＜BD
4. 如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（ ）
A. 46° B. 44° C. 36° D. 22°
5. 如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（ ）
A. 45° B.60° C. 90° D. 120°
6. 下列叙述中，正确的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．一条直线有只有一条垂线
C．从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短
D．一个角一定不等于它的余角
7. 如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
8. 如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2为（ ）．
A． 40° B． 30° C． 50° D． 60°
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图, 直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为 .
10. 如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _________
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
12. 如图,点O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC= .
13. 如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，在PA、PB、PC、PD四条路线中选择 才能使渠道距离最短.
14. 如图所示,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A，D,AB=6 cm,AD=5 cm,则点B到直线AC的距离是__________,点A到直线BC的距离是__________.
三、计算题(本大题共4小题)
15. 如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.
16. 如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
17. 如图所示,直线AB，CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
(2)若∠AOC∶∠AOD=1∶5,求∠EOF的度数.
18. 如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是?位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. C
分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
2.C
分析：根据题意画出图形即可．
解：根据题意可得图形
，
故选：C．
3. C
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析．
解：A、CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
B、AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
C、BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；
D、CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．
4. A
分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解
解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=44°，
∵l3⊥l4，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°．
故选A．
5. C
分析：根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．
解：∵c⊥a，
∴∠1=90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠1=90°．
故选C．
6. C
分析：根据对顶角的定义，垂线的性质，余角的定义作答．
解：A、直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
B、一条直线有无数条垂线，故本选项错误；
C、从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短是对的，正确；
D、45°角等于它的余角，故本选项错误．
故选C．
7. C
分析： 如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
解：如图，延长AC交EF于点G；
∵AB∥EF，
∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG=90°，
∴∠ACD=90°+50°=140°，
故选C．
8. A
分析：根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3=∠1，根据PM⊥l于点P，则∠MPQ=90°，即可求解．
解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=50°，
又∵PM⊥l于点P，
∴∠MPQ=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．
故答案是：40．故选A。
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，
∴∠ACE=90°-∠CEF=90°-59°=31°
∴∠AED=180°-∠ACE=180°-31°=149°．
故答案为：149°．
10. 分析：因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
解答：32°
11. 分析：根据垂线和角平分线的概念可得。
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
12. 分析：主要考查你对余角，补角??等考点的理解。
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠AOD+∠COD+∠COB=∠AOB=180°，
∴∠AOD+∠COB=90°，①
∵∠AOC-∠BOD=20°，
即∠AOD+∠COD-∠COD-∠BOC=20°，
∴∠AOD-∠BOC=20°，②
联立①、②求得，
∠AOD=55°，∠BOC=35°，
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+55°=145°．
13. 分析：根据垂线段性质，点到直线的线段中垂线段最短可以得到解答．
解：∵垂线段最短，又∵PB⊥l
∴选PB。
14. 分析：考查了垂线段的知识点，注意垂直关系时解题关键。
解：根据图形可得点B到直线AC的距离是AB，为6cm，点A到直线BC的距离是AD，是5cm.
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON=20°，结合角平分线的概念，即可求得∠BON．再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
解：∵OE平分∠BON，
∴∠BON=2∠EON=2×20°=40°，
∴∠NOC=180°-∠BON=180°-40°=140°，
∠MOC=∠BON=40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°，
所以∠NOC=140°，∠AOM=50°．
16.分析：主要考查了垂线、角平分线等概念的应用，灵活把握角之间的关系即可。
解; 解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC=180°，解得∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣135°=45°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
（2）OD⊥AB．
理由：由（1）知∠AOC=∠COD=45°，
∴∠AOD=∠AC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB（垂直定义）．
17. 解：由题知∠BOD=∠AOC=28°（对顶角相等）
因为∠DOE=∠BOD
所以∠BOE=2∠BOD=56°
因为∠AOE+∠BOE=180°
所以∠AOE=124°
因为OF平分∠AOE
所以∠EOF=∠AOE=62°。
18. 分析：根据点到直线的距离垂线段最短可作图；本题主要考查了点到直线的距离垂线段最短的实际运用．利用尺规可作图，通过图形来分析题意可快捷的求解．
解：如图所示．
一、选择题(本大题共8小题)
1. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
2. 已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A．B．C．D．
3. 如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A．CD＞AD B．AC＜BC C．BC＞BD D．CD＜BD
4. 如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（ ）
A. 46° B. 44° C. 36° D. 22°
5. 如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（ ）
A. 45° B.60° C. 90° D. 120°
6. 下列叙述中，正确的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．一条直线有只有一条垂线
C．从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短
D．一个角一定不等于它的余角
7. 如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
8. 如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2为（ ）．
A． 40° B． 30° C． 50° D． 60°
二、填空题(本大题共6小题)
9. 如图, 直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为 .
10. 如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _________
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
12. 如图,点O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC-∠BOD=20°,则∠AOC= .
13. 如图所示，在灌溉农田时，要把河(直线l表示一条河)中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，在PA、PB、PC、PD四条路线中选择 才能使渠道距离最短.
14. 如图所示,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A，D,AB=6 cm,AD=5 cm,则点B到直线AC的距离是__________,点A到直线BC的距离是__________.
三、计算题(本大题共4小题)
15. 如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,求∠AOM和∠NOC的度数.
16. 如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
17. 如图所示,直线AB，CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
(2)若∠AOC∶∠AOD=1∶5,求∠EOF的度数.
18. 如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是?位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. C
分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
2.C
分析：根据题意画出图形即可．
解：根据题意可得图形
，
故选：C．
3. C
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析．
解：A、CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
B、AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
C、BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；
D、CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．
4. A
分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解
解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=44°，
∵l3⊥l4，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°．
故选A．
5. C
分析：根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．
解：∵c⊥a，
∴∠1=90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠1=90°．
故选C．
6. C
分析：根据对顶角的定义，垂线的性质，余角的定义作答．
解：A、直角都相等，但不一定是对顶角，故本选项错误；
B、一条直线有无数条垂线，故本选项错误；
C、从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短是对的，正确；
D、45°角等于它的余角，故本选项错误．
故选C．
7. C
分析： 如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
解：如图，延长AC交EF于点G；
∵AB∥EF，
∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，
∴∠CDG=90°，
∴∠ACD=90°+50°=140°，
故选C．
8. A
分析：根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3=∠1，根据PM⊥l于点P，则∠MPQ=90°，即可求解．
解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=50°，
又∵PM⊥l于点P，
∴∠MPQ=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．
故答案是：40．故选A。
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：先根据垂直的定义求出∠ACE的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵EF⊥AB于E，∠CEF=59°，
∴∠ACE=90°-∠CEF=90°-59°=31°
∴∠AED=180°-∠ACE=180°-31°=149°．
故答案为：149°．
10. 分析：因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
解答：32°
11. 分析：根据垂线和角平分线的概念可得。
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
12. 分析：主要考查你对余角，补角??等考点的理解。
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠AOD+∠COD+∠COB=∠AOB=180°，
∴∠AOD+∠COB=90°，①
∵∠AOC-∠BOD=20°，
即∠AOD+∠COD-∠COD-∠BOC=20°，
∴∠AOD-∠BOC=20°，②
联立①、②求得，
∠AOD=55°，∠BOC=35°，
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+55°=145°．
13. 分析：根据垂线段性质，点到直线的线段中垂线段最短可以得到解答．
解：∵垂线段最短，又∵PB⊥l
∴选PB。
14. 分析：考查了垂线段的知识点，注意垂直关系时解题关键。
解：根据图形可得点B到直线AC的距离是AB，为6cm，点A到直线BC的距离是AD，是5cm.
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON=20°，结合角平分线的概念，即可求得∠BON．再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
解：∵OE平分∠BON，
∴∠BON=2∠EON=2×20°=40°，
∴∠NOC=180°-∠BON=180°-40°=140°，
∠MOC=∠BON=40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOM=∠AOC-∠MOC=90°-40°=50°，
所以∠NOC=140°，∠AOM=50°．
16.分析：主要考查了垂线、角平分线等概念的应用，灵活把握角之间的关系即可。
解; 解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC=180°，解得∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣135°=45°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
（2）OD⊥AB．
理由：由（1）知∠AOC=∠COD=45°，
∴∠AOD=∠AC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB（垂直定义）．
17. 解：由题知∠BOD=∠AOC=28°（对顶角相等）
因为∠DOE=∠BOD
所以∠BOE=2∠BOD=56°
因为∠AOE+∠BOE=180°
所以∠AOE=124°
因为OF平分∠AOE
所以∠EOF=∠AOE=62°。
18. 分析：根据点到直线的距离垂线段最短可作图；本题主要考查了点到直线的距离垂线段最短的实际运用．利用尺规可作图，通过图形来分析题意可快捷的求解．
解：如图所示．