广东省河源市东江中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年广东省河源市东江中学高一（上）期末数学试卷
　
一．选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．用列举法表示集合{（x，y）|}，正确的是（　　）
A．（﹣1，1），（0，0）
B．{（﹣1，1），（0，0）}
C．{x=﹣1或0，y=1或0}
D．{﹣1，0，1}
2．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　）
A．（﹣，+∞）
B．（﹣，1）
C．（﹣，）
D．（﹣∞，﹣）
3．已知cosα=，角α是第二象限角，则tan（2π﹣α）等于（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
4．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（　　）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
5．设函数f（x）=，则f（f（3））=（　　）
A．
B．3
C．
D．
6．已知，b=log23，c=1，d=3﹣0.5，那么（　　）
A．d＜a＜c＜b
B．d＜c＜a＜b
C．a＜b＜c＜d
D．a＜d＜c＜b
7．函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数y=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）
A．[1，+∞）
B．[0，2]
C．[1，2]
D．（﹣∞，2]
9．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
10．已知cos（+α）=﹣，则sin（α﹣）的值为（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
11．已知函数f（x）=单调递减，那么实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1）
B．（0，）
C．[，）
D．[，1）
12．已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（　　）
A．6
B．13
C．22
D．33
　
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．cos（﹣π）+sin（﹣π）的值是　　．
14．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=　　．
15．若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是　　．
16．已知函数f（x）=（）x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣|x|），则关于h（x）有下列命题：
①h（x）的图象关于原点对称；
②h（x）为偶函数；
③h（x）的最小值为0；
④h（x）在（0，1）上为减函数．
其中正确命题的序号为：　　．
　
三．解答题：（本大题共5小题，每小题各14分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．计算下列各式的值：
（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.01；
（2）．
18．已知，，求A∩B．
19．若，且α为第四象限角，求的值．
20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．
（Ⅰ）求f（﹣1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；
（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A B，求实数a的取值范围．
21．是否存在实数a，使函数f（x）=loga（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
　
2016-2017学年广东省河源市东江中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一．选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．用列举法表示集合{（x，y）|}，正确的是（　　）
A．（﹣1，1），（0，0）
B．{（﹣1，1），（0，0）}
C．{x=﹣1或0，y=1或0}
D．{﹣1，0，1}
【考点】集合的表示法．
【分析】解方程组，能用列举法表示所求集合．
【解答】解：集合{（x，y）|}={（﹣1，1），（0，0）}，
故选：B．
　
2．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　）
A．（﹣，+∞）
B．（﹣，1）
C．（﹣，）
D．（﹣∞，﹣）
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．
【解答】解：要使函数有意义需，
解得﹣＜x＜1．
故选B．
　
3．已知cosα=，角α是第二象限角，则tan（2π﹣α）等于（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求得sinα，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解．
【解答】解：∵cosα=，角α是第二象限角，
∴sinα=．
∴tan（2π﹣α）=﹣tanα=﹣．
故选：C．
　
4．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（　　）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，
f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，
可得f（﹣1）f（0）＜0．
由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．
故选：B．
　
5．设函数f（x）=，则f（f（3））=（　　）
A．
B．3
C．
D．
【考点】函数的值．
【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出
f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．
【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，
∴f（f（3））=f（）=+1=，
故选D．
　
6．已知，b=log23，c=1，d=3﹣0.5，那么（　　）
A．d＜a＜c＜b
B．d＜c＜a＜b
C．a＜b＜c＜d
D．a＜d＜c＜b
【考点】不等式比较大小．
【分析】由函数y=，y=log2x和y=3x的单调性可得a＜0，b＞1，0＜d＜1，可得答案．
【解答】解：因为对数函数y=单调递减，故＜=0；
同理因为对数函数y=log2x单调递增，故b=log23＞log22=1；
由指数函数y=3x单调递增，故0＜d=3﹣0.5＜30=1，
综上可得a＜d＜c＜b，
故选D
　
7．函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】幂函数的图象．
【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
【解答】解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），（，），可排除C．
故选B．
　
8．已知函数y=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）
A．[1，+∞）
B．[0，2]
C．[1，2]
D．（﹣∞，2]
【考点】二次函数的性质．
【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，
函数f（x）=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2]．
故选：C
　
9．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
　
10．已知cos（+α）=﹣，则sin（α﹣）的值为（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】解：∵cos（+α）=﹣，则sin（α﹣）=sin[﹣（+α）]=cos（+α）=﹣，
故选：B．
　
11．已知函数f（x）=单调递减，那么实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1）
B．（0，）
C．[，）
D．[，1）
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据指数函数与一次函数的单调性，列出不等式组求出a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=单调递减，
根据指数函数与一次函数的单调性知，
，
解得≤a＜，
所以实数a的取值范围是[，）．
故选：C．
　
12．已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（　　）
A．6
B．13
C．22
D．33
【考点】对数函数的值域与最值．
【分析】将f（x）=2+log3x（1≤x≤9）代入y=[f（x）]2+f（x2）中，整理化简为关于log3x的函数，利用换元法求最值．
【解答】解：y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，
∵f（x）=2+log3x（1≤x≤9），
∴
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x）2+6log3x+6，的定义域是{x|1≤x≤3}．
令log3x=t，因为1≤x≤3，所以0≤t≤1，
则上式变为y=t2+6t+6，0≤t≤1，
y=t2+6t+6在[0，1]上是增函数
当t=1时，y取最大值13
故选B
　
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．cos（﹣π）+sin（﹣π）的值是　0　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：cos（﹣π）+sin（﹣π）=cos（﹣）+sin（﹣）=cos﹣sin=﹣=0，
故答案为：0．
　
14．已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=　3　．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案
【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2
∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4
又g（1）=1
∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3
故答案为：3
　
15．若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．
【考点】函数的零点．
【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．
【解答】解：令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=ax﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．
故答案为：（1，+∞）
　
16．已知函数f（x）=（）x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣|x|），则关于h（x）有下列命题：
①h（x）的图象关于原点对称；
②h（x）为偶函数；
③h（x）的最小值为0；
④h（x）在（0，1）上为减函数．
其中正确命题的序号为：　②③　．
【考点】四种命题的真假关系；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性．
【分析】根据题意画出h（x）的图象就一目了然．
【解答】解：根据题意可知g（x）=（x＞0）
∴（1﹣|x|）＞0
∴﹣1＜x＜1
∴函数h（x）的图象为
∴②③正确．
　
三．解答题：（本大题共5小题，每小题各14分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．计算下列各式的值：
（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.01；
（2）．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数的运算性质．
【分析】（1）自己利用指数的运算法则，求出表达式的值即可．
（2）利用对数的运算法则求解即可．
【解答】解：（1）原式===；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）原式===log39﹣9=2﹣9=﹣7．﹣﹣﹣﹣
　
18．已知，，求A∩B．
【考点】交集及其运算．
【分析】根据对数以及指数的运算分别求出A、B，从而求出A∩B即可．
【解答】解：
={x|0＜x≤}，
={x|﹣2≤x≤3}，
故A∩B={x|0＜x≤}．
　
19．若，且α为第四象限角，求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用三角函数的诱导公式化简，由，且α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值即可得答案．
【解答】解：
==，
∵，且α为第四象限角，
∴=．
∴==．
　
20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．
（Ⅰ）求f（﹣1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；
（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A B，求实数a的取值范围．
【考点】偶函数；集合的包含关系判断及应用；函数的值域；函数的值．
【分析】（I）根据函数是偶函数，把﹣1转化到给出解析式的范围上，代入解析式可求．
（II）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x≥0时函数值的取值集合就是函数f（x）的值域A，求出（x≥0）的取值集合即可．
（III）先写出x所要满足的一元二次不等式，因为A=（0，1] B，
法一：把不等式分解因式，很容易看出两根，一根为﹣1又B中含有正数，所以另一根一定大于﹣1得定义域B=[﹣1，a]，得实数a的取值范围；
法二：设为函数，利用函数图象，（0，1]在图象与x轴的两交点之间，图象开中向上，x=0，x=1时对应的函数小于等于0，得不等式组，可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（﹣1）=f（1）
又x≥0时，
∴，即f（﹣1）=．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵
定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0}
方法一：由x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0得（x﹣a）（x+1）≤0
∵A B∴B=[﹣1，a]，且a≥1
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
方法二：设h（x）=x2﹣（a﹣1）x﹣a
A B当且仅当即
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
　
21．是否存在实数a，使函数f（x）=loga（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】设u（x）=ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x=．分当a＞1时和当0＜a＜1
两种情况，分别利用二次
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域，求得a的范围，综合可得结论．
【解答】解：设u（x）=ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x=．
①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax2﹣x
在[2，4]上为增函数，
故应有，解得
a＞．…
综合可得，a＞1．…
②当0＜a＜1
时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax2﹣x
在[2，4]上为减函数，
应有，解得a∈ ．…
综上，a＞1时，函数f（x）=loga（ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．…
　
2017年3月21日