3.3公式法 同步练习
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湘教版七年级下册数学3.3公式法同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
2. 下列多项式能用平方差公式因式分解的是（ ）
A. a2+(-b) 2； B. 5m2-20mn； C. -x2-y2； D. -x2+9；21*cnjy*com
3. 若x2+2(m-3)+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A. -5； B. 7； C. -1； D. 7或-1；
4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列因式分解正确的是( )
A．x3－x＝x(x－1) B．x2－y2＝(x－y)2
C．－4x2＋9y2＝(2x＋3y)(2x－3y) D．x2＋6x＋9＝(x＋3) 2
6. 利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( )
A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900
C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198
7. 某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（ ）2·1·c·n·j·y
A. 8，1； B.16，2； C.24，3； D. 64，8；
8. 多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D. a（x+6）（x﹣2）
二、填空题(本大题共5小题)
9. 已知，则= .
10. 把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 ．
11. 分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．
12. 如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是______.
13.
13. 观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
三、计算题(本大题共4小题)
14. 若,求的值.
15. 观察下列式子：1×8＋1＝9＝32；3×16＋1＝49＝72；7×32＋1＝225＝152；…你得出了什么结论？你能说明这个结论正确的理由吗？【来源：21cnj*y.co*m】
16. 把一个边长为a米的正方形广场的四角处各留出一个边长为b(b＜a)米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大？如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a＝92，b＝4时，投资修此草坪需要多少钱？www-2-1-cnjy-com
17. 已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.
18. 下面是某同学对多项式(a2－4a＋2)(a2－4a＋6)＋4进行因式分解的过程.
解：设a2－4a＝y
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝ (a2－4a＋4)2(第四步)
请问：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)；
(2)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
分析：根据因式分解的要求利用整体代替法解答简易。
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. A
分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．
故选：A．
2. D
分析：利用平方差因式分解的方法.
解：A.a2+(-b)2=a2+b2，不能分解因式； B.5m2-20mn =5m(m-4n)，用的是提公因式法，不是平方差公式；C.-x2-y2 =-（x2+y2)，不能应用平方差公式； D.-x2+9=（3+x)(3-x),用的是平方差公式；故选D.21世纪教育网版权所有
3. D
分析：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m-3）=±8，m=7或-1．21教育网
解：∵（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m-3）x+16，
∴2（m-3）=±8，
∴m=7或-1．故选D．
4. B
分析：根据因式分解是整式乘法的逆运算来解答即可．
解：= ．故选B
5. D
分析：根据完全平方公式和平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、应为x3－x＝x(x2－1)= x（x-1）（x+1），故本选项错误；21cnjy.com
B、应为x2-y2=（x-y）（x+y），故本选项错误；
C、应为－4x2＋9y2＝(2x＋3y)(-2x+3y)，故本选项错误；
D、x2＋6x＋9＝(x＋3) 2，是完全平方公式，正确；故选D．
6. B
分析：提取公因式99，计算后直接选取答案．
解：57×99+44×99-99，
=99×（57+44-1），（提公因式法）
=99×100，
=9 900．故选B．
7.B
分析：根据平方差公式计算解答即可。
解：由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则■=16．
故选B．
8. A
分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解： ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．故选A
二、填空题(本大题共5小题)
9.分析：原式利用完全平方公式及其绝对值的非负性来解答即可．
解：由已知可得，则=-2，= 3，a+b=1 .
10.分析：首先提取公因式9a，进而利用平方差公式法分解因式得出即可．
解：9a3﹣ab2
=a（9a2﹣b2）
=a（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）．
11.分析：先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．
解：（m+1）（m﹣9）+8m，
=m2﹣9m+m﹣9+8m，
=m2﹣9，
=（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
12. 13.
分析：根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案． 解：根据题意得： 图1中阴影部分的面积为：a2-b2； 图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）． ∵两图形阴影面积相等， ∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．21·cn·jy·com
13. 观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
分析：根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．
解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，www.21-cn-jy.com
故答案为：a2017﹣b2017
三、计算题(本大题共4小题)
14. 分析：把（x2+y2）（x2+y2-2）+1化成(x2+y2)2-2(x2+y2)+1的形式，然后运用完全平方公式因式分解即可知答案.【来源：21·世纪·教育·网】
解：由已知得：
(x2+y2)2-2(x2+y2)+1=0
[(x2+y2)-1]2=0（完全平方公式）
∴x2+y2=1（只有0的平方为0）
15.分析：式子可以整理为：（21-1）×21+2+1=（22-1）2；
（22-1）×22+2+1=（23-1）2；
（23-1）×23+2+1=（24-1）2；
…
得到第n个式子的结论即可．
解： (2n－1)·2n＋2＋1＝(2n＋1－1)2.(2n－1)·2n＋2＋1＝22n＋2－2n＋2＋1＝(2n＋1)2－2×2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2. 21·世纪*教育网
16.解：草坪的面积为a2－4b2(平方米)．
当a＝92，b＝4时，草坪的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(92＋8)×(92－8)＝8 400(平方米)．2-1-c-n-j-y
所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5＝42 000(元)．
17. 已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.
分析：对已知条件进行组合因式分解可得a、b的值，从而代入即可得到答案.
解：因为a2+b2+8a-6b+25=0,
所以(a2+8a+16)+(b2-6b+9)=0,(a+4)2+(b-3)2=0.
所以a=-4,b=3,(a+b)2 014=(-4+3)2 014=1.
18. 解：(1)不彻底
(2)(a－2)4
(3)设x2－2x＝y，原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.
一、选择题(本大题共8小题)
1. 分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2
2. 下列多项式能用平方差公式因式分解的是（ ）
A. a2+(-b) 2； B. 5m2-20mn； C. -x2-y2； D. -x2+9；21*cnjy*com
3. 若x2+2(m-3)+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A. -5； B. 7； C. -1； D. 7或-1；
4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列因式分解正确的是( )
A．x3－x＝x(x－1) B．x2－y2＝(x－y)2
C．－4x2＋9y2＝(2x＋3y)(2x－3y) D．x2＋6x＋9＝(x＋3) 2
6. 利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( )
A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900
C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198
7. 某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（ ）2·1·c·n·j·y
A. 8，1； B.16，2； C.24，3； D. 64，8；
8. 多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D. a（x+6）（x﹣2）
二、填空题(本大题共5小题)
9. 已知，则= .
10. 把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 ．
11. 分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．
12. 如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是______.
13.
13. 观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
三、计算题(本大题共4小题)
14. 若,求的值.
15. 观察下列式子：1×8＋1＝9＝32；3×16＋1＝49＝72；7×32＋1＝225＝152；…你得出了什么结论？你能说明这个结论正确的理由吗？【来源：21cnj*y.co*m】
16. 把一个边长为a米的正方形广场的四角处各留出一个边长为b(b＜a)米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大？如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a＝92，b＝4时，投资修此草坪需要多少钱？www-2-1-cnjy-com
17. 已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.
18. 下面是某同学对多项式(a2－4a＋2)(a2－4a＋6)＋4进行因式分解的过程.
解：设a2－4a＝y
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝ (a2－4a＋4)2(第四步)
请问：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)；
(2)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
分析：根据因式分解的要求利用整体代替法解答简易。
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. A
分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．
故选：A．
2. D
分析：利用平方差因式分解的方法.
解：A.a2+(-b)2=a2+b2，不能分解因式； B.5m2-20mn =5m(m-4n)，用的是提公因式法，不是平方差公式；C.-x2-y2 =-（x2+y2)，不能应用平方差公式； D.-x2+9=（3+x)(3-x),用的是平方差公式；故选D.21世纪教育网版权所有
3. D
分析：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m-3）=±8，m=7或-1．21教育网
解：∵（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m-3）x+16，
∴2（m-3）=±8，
∴m=7或-1．故选D．
4. B
分析：根据因式分解是整式乘法的逆运算来解答即可．
解：= ．故选B
5. D
分析：根据完全平方公式和平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、应为x3－x＝x(x2－1)= x（x-1）（x+1），故本选项错误；21cnjy.com
B、应为x2-y2=（x-y）（x+y），故本选项错误；
C、应为－4x2＋9y2＝(2x＋3y)(-2x+3y)，故本选项错误；
D、x2＋6x＋9＝(x＋3) 2，是完全平方公式，正确；故选D．
6. B
分析：提取公因式99，计算后直接选取答案．
解：57×99+44×99-99，
=99×（57+44-1），（提公因式法）
=99×100，
=9 900．故选B．
7.B
分析：根据平方差公式计算解答即可。
解：由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则■=16．
故选B．
8. A
分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解： ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．故选A
二、填空题(本大题共5小题)
9.分析：原式利用完全平方公式及其绝对值的非负性来解答即可．
解：由已知可得，则=-2，= 3，a+b=1 .
10.分析：首先提取公因式9a，进而利用平方差公式法分解因式得出即可．
解：9a3﹣ab2
=a（9a2﹣b2）
=a（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）．
11.分析：先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．
解：（m+1）（m﹣9）+8m，
=m2﹣9m+m﹣9+8m，
=m2﹣9，
=（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
12. 13.
分析：根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案． 解：根据题意得： 图1中阴影部分的面积为：a2-b2； 图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）． ∵两图形阴影面积相等， ∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．21·cn·jy·com
13. 观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）= ．
分析：根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．
解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，www.21-cn-jy.com
故答案为：a2017﹣b2017
三、计算题(本大题共4小题)
14. 分析：把（x2+y2）（x2+y2-2）+1化成(x2+y2)2-2(x2+y2)+1的形式，然后运用完全平方公式因式分解即可知答案.【来源：21·世纪·教育·网】
解：由已知得：
(x2+y2)2-2(x2+y2)+1=0
[(x2+y2)-1]2=0（完全平方公式）
∴x2+y2=1（只有0的平方为0）
15.分析：式子可以整理为：（21-1）×21+2+1=（22-1）2；
（22-1）×22+2+1=（23-1）2；
（23-1）×23+2+1=（24-1）2；
…
得到第n个式子的结论即可．
解： (2n－1)·2n＋2＋1＝(2n＋1－1)2.(2n－1)·2n＋2＋1＝22n＋2－2n＋2＋1＝(2n＋1)2－2×2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2. 21·世纪*教育网
16.解：草坪的面积为a2－4b2(平方米)．
当a＝92，b＝4时，草坪的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(92＋8)×(92－8)＝8 400(平方米)．2-1-c-n-j-y
所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5＝42 000(元)．
17. 已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.
分析：对已知条件进行组合因式分解可得a、b的值，从而代入即可得到答案.
解：因为a2+b2+8a-6b+25=0,
所以(a2+8a+16)+(b2-6b+9)=0,(a+4)2+(b-3)2=0.
所以a=-4,b=3,(a+b)2 014=(-4+3)2 014=1.
18. 解：(1)不彻底
(2)(a－2)4
(3)设x2－2x＝y，原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.